Corso di Idraulica: 6 Impulso e Quantità di Moto nei Fluidi

6 – Impulso e Quantità di Moto nei Fluidi

Obiettivi

Presentare il teorema della quantità di moto applicato ai fluidi (forma integrale per un volume di controllo).
Spiegare il teorema dell’impulso per getti e per urti idraulici (salti / impatti).
Mostrare esempi numerici ed esercizi svolti (calcolo della forza di un getto su una pala, forza su una parete piana).
Descrivere applicazioni pratiche: turbine idrauliche, pompe, reazioni (getti di reazione, idrogetti).

1. Concetti di base (notazione e definizioni)

Velocità vettoriale del fluido: v (m/s).
Densità del fluido: rho (kg/m³).
Portata di massa attraverso una sezione A: m_dot = rho · A · v (kg/s).
Impulso = quantità di moto; per una massa m che si muove a velocità v: p = m·v (vector).
Forza risultante sul controllo di volume = variazione di quantità di moto nel tempo + flusso di quantità di moto attraverso le superfici di controllo (formulazione integrale).

2. Teorema della quantità di moto per un fluido (forma integrale)

Per un volume di controllo V con superficie S (orientata con normale n verso l’esterno), il bilancio integrale della quantità di moto (per i componenti) si scrive, in forma semplificata:

Forza risultante applicata al controllo = tempo di variazione della quantità di moto nel controllo + flusso netto di quantità di moto uscente meno entrante attraverso S + contributo delle forze di superficie e di volume (pressioni, tensioni viscose, forza di gravità se rilevante).

In simboli (forma compatta, componente i):
F_i = d/dt ∫_V rho u_i dV + ∫_S rho u_i (v · n) dS + ∫_V rho g_i dV + ∫_S (stress_i·n) dS

Dove:

u_i sono le componenti della velocità;
v·n è la velocità attraverso la superficie (positiva verso l’esterno);
stress include la pressione e le tensioni viscose (per flussi ideali si considera solo la pressione p: stress = -p I).

Interpretazione pratica: la forza esercitata su un corpo immerso nel fluido è dovuta alla somma della variazione di quantità di moto del fluido dentro il volume di controllo e del flusso di quantità di moto che attraversa le superfici di controllo.

3. Teorema dell’impulso per getti e urti idraulici (caso stazionario comune)

Nel caso stazionario (campo in regime permanente, d/dt term = 0) e con superfici di controllo adeguate, la forza F richiesta per tenere fermo un corpo in presenza di un getto si riduce alla differenza di flussi di quantità di moto:

F = ∑ (m_dot_out · v_out) - ∑ (m_dot_in · v_in) + ∑ (pressioni·aree)_contributo

Se si scelgono superfici lontane dove la pressione è atmosferica, il termine di pressione può annullarsi e rimane solo la variazione di quantità di moto.

4. Applicazioni ed esempi svolti

Esempio 1 — Forza di un getto su una pala piana (incidenza normale)

Dati:

getto d’acqua con sezione A = 0.01 m² (10 cm x 10 cm),
velocità v = 20 m/s,
densità rho = 1000 kg/m³,
il getto colpisce una pala piana e viene deviato (assumiamo per semplicità che la pala arresti il getto, cioè uscita con v_out ≈ 0).

Calcoli:

portata di massa m_dot = rho · A · v = 1000 · 0.01 · 20 = 200 kg/s.
quantità di moto per secondo (flusso) in ingresso = m_dot · v = 200 · 20 = 4000 N.
Se il getto si arresta, la forza esercitata sulla pala, per il bilancio della quantità di moto, è circa F = 4000 N (verso la direzione del getto).
Aggiungere eventuali contributi di pressione se la pala è immersa in un campo di pressione diverso da quello atmosferico.

Risultato: la pala deve sopportare una forza di circa 4000 N (≈ 4 kN).

Esempio 2 — Getto che cambia direzione (deviazione a 90°)

Se lo stesso getto viene deviato di 90° dalla pala (da +x a +y), con senza perdite e stessa velocità v, allora la forza risultante è vettoriale: bisogna considerare le componenti.

Calcolo componente x:

m_dot · v_x_in = 200 · 20 = 4000 N in x (entrante).
Se v_x_out = 0 (tutto deviato in y), il cambio in x è -4000 N → forza sulla pala in +x è +4000 N (reazione).

Calcolo componente y:

uscita in y: m_dot · v_y_out = 200 · 20 = 4000 N (positivo in y)
entrata in y: 0 → forza in y = +4000 N.

Forza risultante vettoriale: F = (4000 i + 4000 j) N → modulo ≈ 5657 N, direzione a 45°.

Esempio 3 — Urto idraulico (hydraulic jump) semplificato

Un salto idraulico comporta una forte dissipazione di energia e un cambiamento della quantità di moto. In pratica, nella transizione da una sezione veloce e bassa (velocità alta) a una sezione lenta e alta (velocità bassa), la quantità di moto per unità di larghezza cambia e la parete o il fondale riceve una spinta.

Analisi tipica (per canale rettangolare unitario di larghezza 1 m):

Definire portata per unità di larghezza q = Q/1 = A·v = h·v.
Applicare bilancio di quantità di moto tra sezioni a monte e valle per calcolare la forza per unità di larghezza.

(Non entriamo qui nelle formule di Belanger e Froude, ma il procedimento è lo stesso: bilancio di quantità di moto + bilancio di energia per determinare h1→h2 e le forze.)

5. Turbine idrauliche e pompe (principio di funzionamento legato alla quantità di moto)

Turbina (es. Francis, Pelton, Kaplan): il fluido cede quantità di moto alle palette; la forza tangenziale e radiale agente sulle palette produce un momento che trasmette potenza all’albero.
- Potenza meccanica: P = torque · omega.
- Bilancio della quantità di moto sui passaggi (in e out dalle palette) permette di calcolare il momento torcente: M = ∑ (r × (m_dot v)_out) − ∑ (r × (m_dot v)_in), dove r è il braccio rispetto all’asse.
Pompa: funziona inversamente: l’albero fornisce quantità di moto al fluido, che aumenta la sua energia (pressione e velocità).

Esempio pratico (turbina semplificata)

Se una guida di pale deflette un getto di portata m_dot da una direzione a un’altra con un momento d’inerzia, il momento torcente sull’albero è calcolabile come la variazione del momento della quantità di moto lungo la direzione tangenziale.

6. Forze idrodinamiche aggiuntive da considerare

Pressione media su superfici immerse: integrazione di p·n dA (porta contributi non trascurabili se la pressione non è uniforme).
Tensioni viscose: nei casi reali a velocità elevata o superfici grandi, lo sforzo viscose può contribuire alla forza tangenziale.
Turbulenza e perdite: perdita di impulso dovuta a dissipazione energetica e vortici riduce l’efficacia del trasferimento di quantità di moto.

7. Esempi di esercizi didattici (da proporre agli studenti)

Calcolare la forza su una pala curva che devia un getto d’acqua da 20 m/s a 10 m/s con portata di 0.05 m³/s; assumere rho=1000 kg/m³.
In un canale rettangolare, determinare la forza per unità di larghezza esercitata dal salto idraulico passando da h1 a h2 noti.
Stimare il momento torcente su una turbina Pelton semplificata dato un getto con portata e velocità note e raggio della ruota.

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