Corso di idraulica: 1 Introduzione all’Idraulica e all’Idrodinamica

1 – Introduzione all’idraulica e all’idrodinamica

Questa trattazione fornisce i concetti fondamentali dell’idraulica/ idrodinamica, le equazioni di base e numerosi esempi numerici svolti passo-passo. Unitá di misura: SI (m, s, kg, Pa, N).

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1. Definizioni fondamentali

Fluido

Un fluido è una sostanza che si deforma continuamente sotto l’azione di una tensione tangenziale infinitesima; comprende liquidi e gas.

Densità $\rho$

Massa per unità di volume:

$$\rho = \frac{m}{V}\quad [\mathrm{kg\,m^{-3}}]$$

Pressione $p$

Forza per unità di superficie:

$$p = \frac{F}{A}\quad [\mathrm{Pa} = N\,m^{-2}]$$

Esempio: una forza $F=100\ \mathrm{N}$ su un’area $A=0{.}02\ \mathrm{m^2}$ dà $p=100/0.02=5000\ \mathrm{Pa}$.

Portata (volumetrica) $Q$ e portata di massa $\dot m$

• Portata volumetrica:

$$Q = \frac{dV}{dt}\quad[\mathrm{m^3\,s^{-1}}]$$

• Portata di massa:

$$\dot m = \rho\,Q \quad [\mathrm{kg\,s^{-1}}]$$

Velocità media $v$ e relazione con $Q$

Per sezione di area $A$:

$$Q = A\,v \qquad \Rightarrow\ v = \frac{Q}{A}$$

Viscosità

• Viscosità dinamica (o assoluta) $\mu$ [Pa·s] (o N·s·m⁻²): misura della resistenza allo scorrimento.

• Viscosità cinematica $\nu$ [m²·s⁻¹]:

$$\nu = \frac{\mu}{\rho}.$$

Esempio numerico (acqua a ~20°C): $\mu \approx 1{.}002\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}$, $\rho \approx 998\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$

$$\nu=\frac{1{.}002\times10^{-3}}{998}\approx 1{.}004\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}.$$

(Valore calcolato: $\nu \approx 1{.}0040\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$.)

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2. Fluidi ideali vs fluidi reali

• Fluido ideale (inviscid, incompressibile): $\mu = 0$ e spesso $\rho=$ costante. Modello utile per semplificare equazioni (es. equazione di Bernoulli).

• Fluido reale: $\mu>0$; presenta attrito viscoso, transizione laminare/turbulenta, strati limite, perdite d’energia. I gas possono essere trattati come comprimibili quando le variazioni di densità non sono trascurabili.

Osservazioni pratiche:

• Liquidi (acqua) spesso si trattano incomprimibili (buona approssimazione) se velocità ≪ velocità del suono.

• Gas: assumere incomprimibilità solo se Mach $Ma < 0{.}3$ (circa).

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3. Equazioni dimensionali e numeri adimensionali

scopo

I numeri adimensionali condensano il rapporto tra effetti fisici concorrenti (inertia vs viscosità, gravità vs inerzia, compressibilità vs inerzia, ...). Sono fondamentali per similitudine e scala.

Reynolds $Re$ — rapporto inerzia/viscosità

$$Re = \frac{\rho\, v \, L}{\mu} = \frac{v\,L}{\nu}$$

• $L$: lunghezza caratteristica (es. diametro di una tubazione $D$).

• Interpretazione: alto $Re$ → forze d’inerzia dominanti → tendenza alla turbolenza; basso $Re$ → viscosità dominante → flusso laminare.

Regole pratiche (tubo circolare):

• $Re < 2300$ → laminare,

• $2300 \lesssim Re \lesssim 4000$ → transizione,

• $Re > 4000$ → turbolento.

Esempio 1 (calcolo Re): acqua a 20°C: $\rho=998\ \mathrm{kg/m^3}$, $\mu=1.002\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}$. Prendiamo tubo $D=0{.}05\ \mathrm{m}$ e $v=1{.}5\ \mathrm{m/s}$.

$$Re=\frac{998\cdot 1{.}5\cdot 0{.}05}{1{.}002\times 10^{-3}}\approx 74\,700.$$

Risultato: $Re\approx 7{.}47\times10^{4}$ → regime turbulento.
(Valore calcolato: $Re\approx 74\,700.6$.)

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Froude $Fr$ — rapporto inerzia/gravitazione (importante per superfici libere)

Due definizioni equivalenti:

$$Fr = \frac{v}{\sqrt{g\,L}} \quad\text{o}\quad Fr^2 = \frac{v^2}{gL}.$$

• $L$ = lunghezza caratteristica (es. profondità, lunghezza nave).

• $Fr \ll 1$: effetti gravitazionali dominano (onde lente), $Fr\gg1$: inerzia domina.

Esempio: $v=1{.}5\ \mathrm{m/s}$, $L=0{.}5\ \mathrm{m}$:

$$Fr = \frac{1{.}5}{\sqrt{9{.}81\cdot 0{.}5}}\approx 0{.}677.$$

(Valore calcolato: $Fr\approx0{.}6773$; $Fr^2\approx0{.}4587$.)

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Mach $Ma$ — rapporto velocità/c

$$Ma = \frac{v}{c}$$

• $c$: velocità del suono nel mezzo (aria $c\approx343\ \mathrm{m/s}$ a 20°C).

• Regola pratica: se $Ma<0{.}3$, effetti comprimibili trascurabili.

Esempio: $v=100\ \mathrm{m/s}$ in aria:

$$Ma=\frac{100}{343}\approx0{.}292 < 0{.}3$$

→ approssimazione incompressibile ancora accettabile ma vicina al limite.

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4. Principi generali: continuità, equilibrio, conservazione

4.1 Equazione di continuità (conservazione della massa)

Forma integrale (controllo di volume $V$):

$$\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\, dV + \oint_{S}\rho\, \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\, dS = 0$$

Forma differenziale (generale):

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{v}) = 0.$$

Incompressibile ($\rho$ costante) si riduce a:

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = 0.$$

Esempio pratico (1-D stazionario): in regime stazionario la massa che entra = massa che esce → $Q_1=Q_2$.
Se $Q=0{.}01\ \mathrm{m^3/s}$, area $A_1=\pi D_1^2/4$ con $D_1=0{.}05\ \mathrm{m}$ e $D_2=0{.}02\ \mathrm{m}$. Calcoliamo le velocità:

• $A_1 = \pi (0{.}05)^2/4 \approx 0{.}0019635\ \mathrm{m^2}$,

• $A_2 = \pi (0{.}02)^2/4 \approx 0{.}00031416\ \mathrm{m^2}$,

$$v_1=\frac{Q}{A_1}\approx \frac{0.01}{0.0019635}\approx 5{.}093\ \mathrm{m/s}, \quad v_2=\frac{Q}{A_2}\approx \frac{0.01}{0.00031416}\approx 31{.}831\ \mathrm{m/s}.$$

(Valori calcolati: $v_1\approx 5{.}09296\ \mathrm{m/s}$, $v_2\approx 31{.}83099\ \mathrm{m/s}$.)

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4.2 Equilibrio e conservazione della quantità di moto (Navier–Stokes)

Forma vettoriale generale (per fluido viscoso, compressibile):

$$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g} + \mathbf{f}_{\text{esterni}}$$

• Termine di sinistra: accelerazione (inerziale).

• $-\nabla p$: gradiente di pressione.

• $\mu\nabla^2\mathbf{v}$: viscous diffusion (forze viscose).

• $\rho\mathbf{g}$: peso specifico.

Limite inviscido (fluido ideale): $\mu=0$ → equazione di Euler:

$$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \rho \mathbf{g}.$$

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4.3 Conservazione dell’energia e equazione di Bernoulli

Per un fluido incompressibile, stazionario e inviscido lungo una stessa linea di corrente:

$$p + \tfrac12 \rho v^2 + \rho g z = \text{costante}$$

• $p$: pressione statica.

• $\tfrac12\rho v^2$: pressione dinamica (energia cinetica per unità volume).

• $\rho g z$: energia potenziale per unità volume.

Forma in termini di carichi (head) dividendo per $\rho g$:

$$\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{costante (head)}.$$

Se si includono perdite (pipe con attrito), versione energetica:

$$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_L$$

dove $h_L$ è la perdita di carico dovuta a attrito e turbolenza.

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5. Perdite per attrito: Darcy–Weisbach

Per tubazione circolare:

$$h_f = f \,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}$$

• $f$: fattore di attrito (Darcy). Per flusso turbolento l’interpretazione e calcolo di $f$ richiede la carta di Moody o formule approssimate (es. Blasius).

Blasius (approssimazione per flussi turbolenti lisci, $4{.}000\lesssim Re\lesssim10^5$):

$$f \approx 0{.}3164\,Re^{-0.25}$$

Esempio 3 (perdita di carico e pressione)
Usiamo il caso già calcolato: acqua, $D=0{.}05\ \mathrm{m}$, $v=1{.}5\ \mathrm{m/s}$, $L=100\ \mathrm{m}$, $Re\approx74{.}7006$.

1. Calcolare $f$ con Blasius:

$$f\approx 0.3164\cdot Re^{-0.25}\approx 0{.}3164\cdot (7.47006\times10^4)^{-0.25}\approx 0{.}01914.$$

(Valore calcolato: $f\approx 0.019138$.)

2. Calcolare perdita di carico $h_f$:

$$h_f = f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g} =0.019138\cdot\frac{100}{0.05}\cdot\frac{1.5^2}{2\cdot 9.81} \approx 4{.}3895\ \mathrm{m}.$$

(Valore calcolato: $h_f\approx 4{.}38954\ \mathrm{m}$.)

3. Pressione persa (Δp) corrispondente:

$$\Delta p = \rho\,g\,h_f \approx 998\cdot 9.81\cdot 4.38954 \approx 42{.}975\ \mathrm{kPa}.$$

(Valore calcolato: $\Delta p\approx 42{.}975\ \mathrm{kPa}$ ≃ 0.43 bar.)

4. Potenza idraulica richiesta dal pompaggio (senza tenere conto di efficienza):

$$P = \Delta p \cdot Q$$

con $Q=A v = \pi D^2/4 \cdot v$. Per $D=0{.}05\ \mathrm{m}$, $A\approx 0{.}0019635\ \mathrm{m^2}$ e $Q\approx 0{.}00294524\ \mathrm{m^3/s}$. Quindi

$$P \approx 42{.}975\cdot10^3\ \mathrm{Pa}\cdot 0{.}00294524\ \mathrm{m^3/s} \approx 126{.}6\ \mathrm{W}.$$

(Valore calcolato: $P\approx126{.}57\ \mathrm{W}$.) Se la pompa ha efficienza $\eta$, potenza elettrica $P_\text{elec}=P/\eta$.

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6. Bernoulli: esempio di velocità da dislivello (vasca → ugello)

Problema: acqua scorre da una vasca libera con livello a quota superiore di $\Delta z = 10\ \mathrm{m}$; trascurando perdite, calcolare la velocità di uscita $v$.

Applicando Bernoulli tra livello della vasca (dove $v\approx0$) e uscita:

$$\rho g \Delta z = \tfrac12 \rho v^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{2 g \Delta z}.$$

Con $g=9{.}81\ \mathrm{m/s^2}$:

$$v=\sqrt{2\cdot 9{.}81\cdot 10}\approx 14{.}007\ \mathrm{m/s}.$$

(Valore calcolato: $v\approx 14{.}0071\ \mathrm{m/s}$.)

Portata se l’ugello ha diametro $D=0{.}05\ \mathrm{m}$:

$$Q=A v=\frac{\pi D^2}{4}v\approx 0{.}0019635\cdot 14{.}0071 \approx 0{.}02750\ \mathrm{m^3/s}\ (27{.}50\ \mathrm{L/s}).$$

(Massa fluente: $\dot m = \rho Q \approx 998\cdot0{.}02750\approx 27{.}45\ \mathrm{kg/s}$.)

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7. Sommario pratico dei passaggi di calcolo (checklist)

1. Identificare le grandezze caratteristiche: $L$ (diametro, profondità), $v$ (velocità media), $\rho$, $\mu$.

2. Calcolare $Q$ o $v$ con $Q=A v$.

3. Stimare $Re$ per conoscere il regime.

4. Se necessario calcolare $f$ (Moody/Blasius) e perdite $h_f$.

5. Applicare Bernoulli con/o senza perdite per stime di velocità o pressione.

6. Convertire head ↔ pressione: $p=\rho g h$.

7. Stimare potenza: $P=\Delta p\cdot Q$ e dividere per $\eta$ per potenza elettrica richiesta.

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8. Riferimenti rapidi alle formule principali

• Densità: $\rho=m/V$.

• Pressione: $p=F/A$.

• Portata volumetrica: $Q=A v$.

• Portata massa: $\dot m=\rho Q$.

• Viscosità cinematica: $\nu=\mu/\rho$.

• Reynolds: $Re=\dfrac{\rho v L}{\mu}=\dfrac{v L}{\nu}$.

• Froude: $Fr=\dfrac{v}{\sqrt{gL}}$.

• Mach: $Ma=\dfrac{v}{c}$.

• Continuità (differenziale): $\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0$.

• Navier–Stokes: $\rho(\partial_t\mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v})=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}$.

• Bernoulli (invicid, incompressible): $p+\tfrac12\rho v^2+\rho g z=\text{costante}$.

• Darcy–Weisbach: $h_f=f\dfrac{L}{D}\dfrac{v^2}{2g}$.

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9. Note pratiche e limiti

• Le equazioni semplificate (Bernoulli, Blasius) sono utilissime per stime veloci ma vanno applicate entro i loro limiti: flusso stazionario, incompressibile, senza fenomeni transitori violenti, ecc.

• La turbolenza richiede modelli (RANS, LES) per predizione accurata; il fattore di attrito $f$ dipende anche dalla rugosità relativa $\epsilon/D$.

• Per gas a velocità elevate considerare la comprimibilità (campo di validità $Ma$).

• Per applicazioni ingegneristiche reali si eseguono sempre prove sperimentali o simulazioni CFD per verificare i calcoli teorici.