Corso di Meccanica: Dinamica Forza Elastica
Forza Elastica e Moto Armonico
Discussione delle leggi di Hooke e dell'applicazione delle forze elastiche in situazioni come molle e gomme elastiche.
Calcolo della forza elastica usando F elastica =k⋅Δx, dove
F elastica è la forza elastica, k è la costante elastica della molla e Δx è lo spostamento dalla posizione di equilibrio.
La forza elastica è la forza che agisce su un oggetto quando questo viene deformato (allungato o compresso) e tende a riportarlo alla sua forma originale.
1. Legge di Hooke
La legge fondamentale delle forze elastiche è la Legge di Hooke:
F_elastica = k * Δx
- F_elastica = forza elastica (N)
- k = costante elastica della molla (N/m)
- Δx = spostamento dalla posizione di equilibrio (m)
La direzione della forza è opposta allo spostamento: se la molla viene allungata, la forza agisce verso l’indietro; se compressa, verso l’avanti.
2. Esempi pratici di forza elastica
Esempio 1: Molla con k = 200 N/m compressa di 0.05 m.
- F_elastica = k * Δx = 200 * 0.05 = 10 N
- Significa che la molla esercita una forza di 10 N per ritornare alla sua lunghezza originale.
Esempio 2: Molla allungata di 0.1 m con k = 150 N/m.
- F_elastica = 150 * 0.1 = 15 N
- La forza è diretta verso la posizione di equilibrio della molla.
3. Energia immagazzinata nella molla
La molla immagazzina energia elastica quando viene deformata:
E_elastica = (1/2) * k * (Δx)^2
- Per esempio, molla con k = 200 N/m compressa di 0.05 m:
- E_elastica = 0.5 * 200 * (0.05)^2 = 0.25 J
4. Moto Armonico
Un corpo attaccato a una molla che oscilla senza attrito compie un moto armonico semplice (MAS), descritto dall’equazione:
x(t) = A * cos(ωt + φ)
- x(t) = spostamento istantaneo dalla posizione di equilibrio (m)
- A = ampiezza massima dell’oscillazione (m)
- ω = pulsazione = √(k/m) (rad/s)
- φ = fase iniziale (rad)
La velocità e l’accelerazione sono:
v(t) = dx/dt = - A * ω * sin(ωt + φ)
a(t) = dv/dt = - A * ω² * cos(ωt + φ) = - ω² * x(t)
5. Esempi di moto armonico
Esempio 1: Molla con k = 100 N/m, massa m = 0.5 kg, ampiezza A = 0.1 m, fase iniziale φ = 0.
- Pulsazione: ω = √(k/m) = √(100/0.5) = √200 ≈ 14.14 rad/s
- Posizione x(t) = 0.1 * cos(14.14 * t)
- Velocità v(t) = -0.1 * 14.14 * sin(14.14 * t) ≈ -1.414 * sin(14.14 t) m/s
- Accelerazione a(t) = -0.1 * (14.14)^2 * cos(14.14 t) ≈ -20 * cos(14.14 t) m/s²
Esempio 2: Calcolo dell’energia totale in un MAS.
Energia totale costante: E_tot = E_cinetica + E_elastica = (1/2) k * A²
- E_tot = 0.5 * 100 * (0.1)^2 = 0.5 J
In qualsiasi istante, la somma dell’energia cinetica e dell’energia elastica rimane costante.
6. Esercizi svolti
Esercizio 1: Molla k = 250 N/m compressa di 0.04 m. Calcolare F_elastica ed energia immagazzinata.
- F_elastica = 250 * 0.04 = 10 N
- E_elastica = 0.5 * 250 * (0.04)^2 = 0.2 J
Esercizio 2: Massa m = 0.2 kg attaccata a molla k = 80 N/m, A = 0.05 m. Calcolare ω, x(t) e a(t) al tempo t = 0.1 s, φ = 0.
- ω = √(k/m) = √(80/0.2) = √400 ≈ 20 rad/s
- x(0.1) = 0.05 * cos(20*0.1) = 0.05 * cos(2) ≈ -0.021 m
- a(0.1) = -ω² * x = -400 * (-0.021) ≈ 8.4 m/s²
Esercizio 3: Calcolare la velocità massima del corpo dell’esercizio 2.
- v_max = ω * A = 20 * 0.05 = 1 m/s
📌 Riepilogo formule principali
| Grandezza | Formula | Unità |
|---|---|---|
| Forza elastica | F_elastica = k * Δx | N |
| Energia elastica | E_elastica = 0.5 * k * (Δx)^2 | J |
| Pulsazione | ω = √(k/m) | rad/s |
| Posizione nel MAS | x(t) = A * cos(ωt + φ) | m |
| Velocità nel MAS | v(t) = - A * ω * sin(ωt + φ) | m/s |
| Accelerazione nel MAS | a(t) = - ω² * x(t) | m/s² |
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