Corso di Meccanica: Dinamica Impulso ed Urti

 ⚡ Impulso

L'impulso è una grandezza scalare che rappresenta la variazione della quantità di moto di un oggetto causata da una forza applicata per un certo periodo di tempo. Matematicamente, l'impulso (J) è calcolato come:

J = F * Δt

Dove F è la forza applicata e Δt è il periodo di tempo durante il quale la forza è stata applicata. L'impulso è utile per quantificare l'effetto di una forza sul moto di un oggetto, ed è direttamente collegato alla variazione della quantità di moto.

Secondo il teorema dell'impulso-momentum, l'impulso applicato a un oggetto è uguale alla variazione della sua quantità di moto:

J = Δp

Questo teorema è utile per comprendere come le forze influenzano il moto degli oggetti, specialmente in situazioni in cui le forze possono variare nel tempo, come nelle collisioni.

Quantità di Moto (Momentum):

La quantità di moto, indicata con la lettera p, è una grandezza vettoriale che misura lo stato di movimento di un corpo. È definita come:

p = m × v

Dove:

• p = quantità di moto [kg·m/s]
• m = massa [kg]
• v = velocità [m/s]

Caratteristiche:

• È una grandezza vettoriale: ha modulo, direzione e verso.
• Si conserva in un sistema isolato, in assenza di forze esterne.

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Principio di Conservazione della Quantità di Moto:

In un sistema chiuso:

Σ p_iniziale = Σ p_finale

Questo principio è particolarmente utile nello studio di urti e collisioni.

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Esempio 1: Urto unidimensionale

Un corpo di massa 3 kg si muove con velocità 4 m/s e urta un corpo fermo di massa 2 kg. Dopo l’urto, il corpo da 3 kg si ferma. Determinare la velocità del secondo corpo.

Svolgimento:

p_iniziale = m₁ v₁ = 3 × 4 = 12 kg·m/s

Dopo l’urto:

p_finale = m₂ v₂

Per conservazione:

12 = 2 × v₂ ⟹ v₂ = 6 m/s

Risultato: Il corpo da 2 kg si muove a 6 m/s.

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⚡ Impulso

Definizione:

L'impulso rappresenta l’effetto di una forza F applicata per un tempo Δt. Si definisce:

J = F × Δt

Dove:

• J = impulso [N·s]
• F = forza [N]
• Δt = tempo di applicazione [s]

Se la forza varia nel tempo:

J = ∫ F(t) dt

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Teorema Impulso - Quantità di Moto:

L’impulso prodotto da una forza equivale alla variazione della quantità di moto:

J = Δp

Questa relazione è essenziale nello studio delle collisioni.

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Esempio 2: Forza costante

Un corpo di massa 2 kg con velocità 2 m/s subisce una forza 6 N per 3 s. Determinare la velocità finale.

Svolgimento:

J = F × Δt = 6 × 3 = 18 N·s

p_iniziale = 2 × 2 = 4 kg·m/s

p_finale = p_iniziale + J = 4 + 18 = 22 kg·m/s

v_f = p_f / m = 22 / 2 = 11 m/s

Risultato: velocità finale 11 m/s.

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Esempio 3: Forza variabile

Una forza F(t) = 4t agisce su un corpo di 1 kg tra t = 0 s e t = 3 s. Determinare impulso e velocità finale (v₀ = 0).

Svolgimento:

J = ∫₀³ 4t dt = [2t²]₀³ = 18 N·s

Δp = J = 18 N·s

v_f = Δp / m = 18 / 1 = 18 m/s

Risultato: velocità finale 18 m/s.

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⚡ Urti Elastici e Anelastici

Urto Elastico:

• Si conserva sia la quantità di moto che l’energia cinetica.
• Tipico esempio: collisione di due sfere metalliche.

Urto Anelastico:

• Si conserva la quantità di moto ma non l’energia cinetica.
• Parte dell’energia viene dissipata (calore, deformazioni).
• Se i corpi rimangono uniti dopo l’urto si parla di urto totalmente anelastico.

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Esempio 4: Urto totalmente anelastico

Un corpo di massa 1 kg si muove a 6 m/s e urta frontalmente un corpo fermo di massa 2 kg. Dopo l’urto i due corpi rimangono attaccati. Calcolare la velocità finale.

Svolgimento:

p_iniziale = 1 × 6 = 6 kg·m/s

Dopo l’urto:

(m₁ + m₂) v_f = 6

(1 + 2) v_f = 6 ⟹ v_f = 2 m/s

Risultato: i due corpi si muovono insieme a 2 m/s.

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Osservazioni Finali:

• La quantità di moto è sempre conservata negli urti (in assenza di forze esterne).
• L’impulso rappresenta il meccanismo tramite cui una forza modifica la quantità di moto.
• Negli urti elastici si conserva anche l’energia cinetica, in quelli anelastici no.