Corso di Elettromagnetismo: 2 – Elettrostatica

2 — Elettrostatica

Sviluppo approfondito con formule, dimostrazioni e esempi numerici svolti passo-passo (unità SI). Questo modulo copre le leggi fondamentali dell’elettrostatica e le loro applicazioni pratiche: Coulomb, campo e potenziale, Gauss, conduttori/dielettrici, condensatori e calcoli di capacità ed energia.

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Obiettivi

Alla fine del modulo dovresti essere in grado di:

• applicare la legge di Coulomb a cariche puntiformi e il principio di sovrapposizione;

• calcolare campo e potenziale per distribuzioni discrete e continue;

• usare il teorema di Gauss per configurazioni con simmetria;

• comprendere conduttori, dielettrici e proprietà dei condensatori;

• risolvere problemi pratici (campi, potenziale, capacità, energia).

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Costanti utili (SI)

• costante elettrostatica: 
  $k_e = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}9875517923\times 10^9\ \mathrm{N\;m^2/C^2}$$k_e \approx 8{,}99\times10^9$

• permittività del vuoto: 
  $\varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$

• carica elementare (per riferimento): 
  $e = 1{,}602176634\times10^{-19}\ \mathrm{C}$

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1) Carica elettrica e legge di Coulomb

Legge di Coulomb (forma vettoriale):

$$\vec{F}_{12} = k_e \frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\, \hat r_{12}$$

F12​=ke​r122​q1​q2​​r^12​

dove 

$\hat r_{12}$$q_1$$q_2$

Definizione campo elettrico:

$$\vec{E}(\vec r) = \frac{\vec F}{q_{\text{di prova}}} \quad\Rightarrow\quad \vec{E}(\vec r) = k_e \frac{q}{r^2}\,\hat r \quad\text{(per carica puntiforme }q\text{)}$$

E(r)=qdi prova​F​⇒E(r)=ke​r2q​r^(per carica puntiforme q)

Esempio 1 — Forza tra due cariche

Due cariche 

$q_1=+3{,}0\ \mu\text{C}$$q_2=-2{,}0\ \mu\text{C}$$r=0{,}50\ \mathrm{m}$$q_2$$q_1$

Passo 1 — conversione unità

$q_1 = 3{,}0\ \mu\mathrm{C} = 3{,}0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$ $q_2 = -2{,}0\ \mu\mathrm{C} = -2{,}0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$

Passo 2 — modulo della forza

$$F = k_e\frac{|q_1 q_2|}{r^2}.$$

F=ke​r2∣q1​q2​∣​.

Calcolo numerico (mostrando i passaggi):

• $k_e \approx 8{,}99\times10^{9}$

  ke​≈8,99×109.

• Prodotto cariche: 
  $q_1 q_2 = (3{,}0\times10^{-6})(-2{,}0\times10^{-6}) = -6{,}0\times10^{-12}\ \mathrm{C^2}$$6{,}0\times10^{-12}$

• $r^2 = (0{,}50)^2 = 0{,}25\ \mathrm{m^2}.$

  r2=(0,50)2=0,25 m2.

Ora:

$$F = 8{,}99\times10^{9}\times\frac{6{,}0\times10^{-12}}{0{,}25}.$$

F=8,99×109×0,256,0×10−12​.

Calcolo frazionato:

• Numeratore: 
  $8{,}99\times10^{9}\times 6{,}0\times10^{-12} = (8{,}99\times6{,}0)\times10^{9-12} = 53{,}94\times10^{-3}.$$8{,}99\times6{,}0 = 53{,}94$

• $53{,}94\times10^{-3} = 0{,}05394.$

  53,94×10−3=0,05394.

• Divide per 
  $0{,}25$$0{,}05394 / 0{,}25 = 0{,}21576\ \mathrm{N}.$

Quindi 

$F \approx 0{,}216\ \mathrm{N}$

Direzione: le cariche sono di segno opposto → attrazione, dunque la forza su 

$q_2$$q_1$

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2) Campo elettrico di distribuzioni discrete e continue

Principio di sovrapposizione

Per più cariche puntiformi:

$$\vec{E}(\vec r) = \sum_i k_e \frac{q_i}{|\vec r-\vec r_i|^2}\,\widehat{(\vec r - \vec r_i)}.$$

E(r)=i∑​ke​∣r−ri​∣2qi​​(r−ri​)​.

Per distribuzioni continue (densità di carica 

$\lambda$$\sigma$$\rho$

$$\vec E(\vec r) = k_e \int \frac{dq(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|^2}\,\widehat{(\vec r - \vec r')}.$$

E(r)=ke​∫∣r−r′∣2dq(r′)​(r−r′)​.

Esempio 2 — Campo di una carica puntiforme

Calcolare 

$E$$r=0{,}20\ \mathrm{m}$$q=+1{,}0\ \mu\mathrm{C}$

Conversione:

$q=1{,}0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$

$$E = k_e\frac{q}{r^2} = 8{,}99\times10^{9}\times\frac{1{,}0\times10^{-6}}{(0{,}20)^2}.$$

E=ke​r2q​=8,99×109×(0,20)21,0×10−6​.

Calcoli:

• $r^2 = 0{,}20^2 = 0{,}04$

  r2=0,202=0,04.

• Numeratore: 
  $8{,}99\times10^{9}\times 1{,}0\times10^{-6} = 8{,}99\times10^3 = 8990$

• Divisione: 
  $8990 / 0{,}04$

  • $8990 / 0{,}04 = 8990 \times 25 = 224750$

    $8990/0,04=8990\times 25=224750$. (perché 
    $1/0{,}04 = 25$
    Quindi 
    $E = 224{,}750\ \mathrm{N/C} \approx 2{,}25\times10^{5}\ \mathrm{N/C}.$

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Esempio 3 — Campo sull’asse di un anello carico (distribuzione continua)

Anello di raggio 

$a$$Q$$z$

$$E_z(z) = k_e \frac{Q z}{(z^2 + a^2)^{3/2}}.$$

Ez​(z)=ke​(z2+a2)3/2Qz​.

Derivazione rapida (idea): ogni elemento 

$dq$$dE_z = k_e\,dq\,z/(r^2 + z^2)^{3/2}$

Esempio numerico:

$Q=5{,}0\ \mu\mathrm{C} = 5{,}0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$$a=0{,}10\ \mathrm{m}$$z=0{,}20\ \mathrm{m}$

Calcolo:

• $z^2 + a^2 = 0{,}20^2 + 0{,}10^2 = 0{,}04 + 0{,}01 = 0{,}05.$

  z2+a2=0,202+0,102=0,04+0,01=0,05.

• $(z^2 + a^2)^{3/2} = (0{,}05)^{3/2} = (0{,}05)^{1.5}.$

  (z2+a2)3/2=(0,05)3/2=(0,05)1.5. Calcolo: 
  $\sqrt{0{,}05} = 0{,}2236067977$$(0{,}05)^{3/2} = 0{,}05 \times 0{,}2236067977 = 0{,}0111803399$

• Numeratore: 
  $k_e Q z = 8{,}99\times10^{9}\times 5{,}0\times10^{-6}\times 0{,}20.$

  • $8{,}99\times10^{9}\times 5{,}0\times10^{-6} = 8{,}99\times 5{,}0 \times 10^{9-6} = 44{,}95\times10^{3} = 44950.$

    8,99×109×5,0×10−6=8,99×5,0×109−6=44,95×103=44950.

  • Moltiplica per 
    $0{,}20$$44950\times0{,}20 = 8990.$

• Divisione: 
  $E_z = 8990 / 0{,}0111803399$

  • $1/0{,}0111803399 \approx 89{,}4427$

    $1/0,0111803399\approx 89,4427$. Moltiplicando: 
    $8990\times 89{,}4427 \approx 804{,}000$$8990\times89{,}4427 = 803{,}977{,}3$
    Quindi 
    $E_z \approx 8{,}04\times10^{5}\ \mathrm{N/C}$

(Questo mostra l’ordine di grandezza; attenzione: per valori piccoli di raggio il campo può essere elevato.)

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3) Flusso elettrico e Teorema di Gauss

Legge integrale di Gauss:

$$\oint_{\mathcal S} \vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.$$

∮S​E⋅dA=ε0​Qint​​.

Questa relazione è potentissima quando c’è simmetria: scelta di superfici gaussiane adeguate (sfera, cilindro, pillbox) semplifica i calcoli.

3.1 Esempi classici con Gauss

(a) piano infinito carico con densità superficiale 

$\sigma$

Usando una pillbox (scatolina) simmetrica sopra e sotto,

$$E\cdot A + E\cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad 2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$$

E⋅A+E⋅A=ε0​σA​⇒2EA=ε0​σA​

$$\boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$$

Direzione: perpendicolare alla superficie, uscente se 

$\sigma>0$

(b) linea infinita con densità lineare 

$\lambda$

Cilindro gaussiano di raggio 

$r$$L$

$$E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad \boxed{E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}.$$

E(2πrL)=ε0​λL​⇒E(r)=2πε0​rλ​​.

(c) sfera uniformemente carica (raggio 

$R$$Q$

• Per 
  $r>R$

$$E(r) = k_e\frac{Q}{r^2}.$$

E(r)=ke​r2Q​.

• Per 
  $r<R$$\rho$

$$Q_{\text{int}}(r) = \rho \frac{4}{3}\pi r^3 = Q\frac{r^3}{R^3}$$

Qint​(r)=ρ34​πr3=QR3r3​

$$E(r) = k_e \frac{Q_{\text{int}}}{r^2} = k_e \frac{Q r}{R^3}.$$

Esempio 4 — Sfera uniformemente carica

Sfera di raggio 

$R=0{,}10\ \mathrm{m}$$Q = 10{,}0\ \mu\mathrm{C} = 1{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$$E$$r=0{,}05\ \mathrm{m}$$r=0{,}20\ \mathrm{m}$

Per 

$r=0{,}05$

$$E(r) = k_e \frac{Q r}{R^3}.$$

E(r)=ke​R3Qr​.

• $R^3 = 0{,}10^3 = 0{,}001\ \mathrm{m^3}.$

  R3=0,103=0,001 m3.

• Numeratore: 
  $k_e Q r = 8{,}99\times10^{9}\times 1{,}0\times10^{-5}\times 0{,}05.$

  • $8{,}99\times10^{9}\times1{,}0\times10^{-5} = 8{,}99\times10^{4} = 89{,}900.$

    8,99×109×1,0×10−5=8,99×104=89,900.

  • Moltiplica per 
    $0{,}05$$89{,}900 \times 0{,}05 = 4{,}495.$

• Divisione: 
  $E = 4{,}495 / 0{,}001 = 4{,}495\times10^{3} = 4{,}495\cdot10^{3}\ \mathrm{N/C}.$
  Quindi 
  $E(0{,}05) = 4{,}495\times10^{3}\ \mathrm{N/C} = 4495\ \mathrm{N/C}.$

Per 

$r=0{,}20$

$$E = k_e\frac{Q}{r^2} = 8{,}99\times10^{9}\times\frac{1{,}0\times10^{-5}}{(0{,}20)^2}.$$

E=ke​r2Q​=8,99×109×(0,20)21,0×10−5​.

• $r^2 = 0{,}04.$

  r2=0,04.

• Numeratore: 
  $8{,}99\times10^{9}\times1{,}0\times10^{-5} = 8{,}99\times10^{4} = 89900.$

• Divisione: 
  $89900/0{,}04 = 89900 \times 25 = 2{,}247{,}500.$
  Quindi 
  $E(0{,}20)=2{,}247{,}500\ \mathrm{N/C} \approx 2{,}25\times10^{6}\ \mathrm{N/C}.$

(Nota: i valori numerici sono elevati perché la carica è grande e le distanze abbastanza piccole.)

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4) Potenziale elettrico e relazione con il campo

Potenziale scalare

$V(\vec r)$$V(\infty)=0$

• per carica puntiforme:

$$V(\vec r) = k_e\frac{q}{r}.$$

V(r)=ke​rq​.

• relazione con il campo:

$$\vec E = -\nabla V \quad\text{(in coordinate scalari unidimensionali }E=-\frac{dV}{dr}\text{)}.$$

E=−∇V(in coordinate scalari unidimensionali E=−drdV​).

Energia potenziale di due cariche:

$$U = k_e\frac{q_1 q_2}{r}.$$

U=ke​rq1​q2​​.

Esempio 5 — Potenziale e campo sull’asse di un anello

Per l’anello dell’esempio 3 la potenziale sull’asse è:

$$V(z) = k_e \frac{Q}{\sqrt{z^2 + a^2}}.$$

V(z)=ke​z2+a2​Q​.

La relazione 

$E_z = -\dfrac{dV}{dz}$

$$E_z = k_e\frac{Q z}{(z^2 + a^2)^{3/2}}.$$

Ez​=ke​(z2+a2)3/2Qz​.

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5) Energia potenziale elettrostatica e capacità

Energia elettrostatica di un sistema di cariche discrete (es. due cariche):

$$U = k_e\frac{q_1 q_2}{r_{12}}.$$

U=ke​r12​q1​q2​​.

Energia immagazzinata in un condensatore:

$$U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} QV.$$

U=21​CV2=2CQ2​=21​QV.

Capacità

$C$$C = \dfrac{Q}{V}$

Capacità di geometrie semplici

• Piatto parallelo:

$$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\quad\text{(vuoto)}.$$

C=ε0​dA​(vuoto).

• Sfera isolata (raggio 
  $R$

$$C = 4\pi\varepsilon_0 R.$$

C=4πε0​R.

• Due sfere concentriche (radii 
  $a<b$

$$C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{ab}{b-a}.$$

C=4πε0​b−aab​.

Esempio 6 — Capacità parallelo-piastra

Piastra area 

$A=0{,}0100\ \mathrm{m^2}$$d=1{,}00\ \mathrm{mm} = 1{,}00\times10^{-3}\ \mathrm{m}$

$$C = \varepsilon_0\frac{A}{d} = 8{,}854187817\times10^{-12}\times\frac{0{,}0100}{1{,}00\times10^{-3}}.$$

C=ε0​dA​=8,854187817×10−12×1,00×10−30,0100​.

Calcolo passo-passo:

• $A/d = 0{,}0100 / 0{,}001 = 10.$

  A/d=0,0100/0,001=10.

• $C = 8{,}854187817\times10^{-12}\times 10 = 8{,}854187817\times10^{-11}\ \mathrm{F}.$

  C=8,854187817×10−12×10=8,854187817×10−11 F.
  Quindi 
  $C \approx 8{,}85\times10^{-11}\ \mathrm{F} = 88{,}5\ \mathrm{pF}.$

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6) Conduttori e dielettrici in elettrostatica

Conduttori in equilibrio elettrostatico

• Il campo elettrico all’interno di un conduttore è 
  $\vec E = \vec 0$

• Tutta la carica libera risiede sulla superficie.

• La normale al conduttore soddisfa: 
  $E_{\perp} = \sigma/\varepsilon_0$

Dielettrici (materiali isolanti polarizzabili)

• In presenza di dielettrico: 
  $\vec D = \varepsilon_0 \vec E + \vec P$$\vec D = \varepsilon \vec E = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E$

• Inserire un dielettrico in un condensatore aumenta la capacità per il fattore 
  $\varepsilon_r$

$$C_{\text{dielettrico}} = \varepsilon_r C_{\text{vuoto}}.$$

Cdielettrico​=εr​Cvuoto​.

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7) Condensatori: combinazioni e calcoli pratici

• In parallelo:
  $C_\text{eq} = \sum_i C_i$

• In serie:
  $\dfrac{1}{C_\text{eq}} = \sum_i \dfrac{1}{C_i}$

Esempio 7 — Serie e parallelo (con numeri)

Siano 

$C_1 = 2{,}0\ \mu\mathrm{F}$$C_2 = 3{,}0\ \mu\mathrm{F}$$V=12{,}0\ \mathrm{V}$

Parallelo:

$$C_p = C_1 + C_2 = 2{,}0 + 3{,}0 = 5{,}0\ \mu\mathrm{F}.$$

Cp​=C1​+C2​=2,0+3,0=5,0 μF.

Carica totale: 

$Q = C_p V = 5{,}0\times10^{-6}\times 12{,}0 = 60{,}0\times 10^{-6}\ \mathrm{C} = 6{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{C}.$

Serie:

$$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2{,}0} + \frac{1}{3{,}0} = 0{,}5 + 0{,}333333 = 0{,}833333\ (\mu\mathrm{F}^{-1}).$$

Cs​1​=C1​1​+C2​1​=2,01​+3,01​=0,5+0,333333=0,833333 (μF−1).

$$C_s = 1/0{,}833333 = 1{,}2\ \mu\mathrm{F}.$$

Carica (uguale su ogni condensatore in serie): 

$Q = C_s V = 1{,}2\times10^{-6}\times12{,}0 = 14{,}4\times10^{-6}\ \mathrm{C} = 1{,}44\times10^{-5}\ \mathrm{C}.$

Energia immagazzinata (serie): 

$U = \tfrac12 C_s V^2 = 0{,}5 \times 1{,}2\times10^{-6} \times (12)^2$

• $V^2 = 144.$

  V2=144.

• $U = 0{,}5 \times 1{,}2\times10^{-6}\times144 = 0{,}6\times10^{-6}\times144 = 86{,}4\times10^{-6}\ \mathrm{J} = 8{,}64\times10^{-5}\ \mathrm{J}.$

  U=0,5×1,2×10−6×144=0,6×10−6×144=86,4×10−6 J=8,64×10−5 J.

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8) Esercizi complessi con soluzione passo-passo

Esercizio A — Campo di una linea infinita

Linea infinita con 

$\lambda = 1{,}00\times10^{-6}\ \mathrm{C/m}$$E$$r=5{,}0\ \mathrm{cm} = 0{,}05\ \mathrm{m}$

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.$$

E=2πε0​rλ​.

Calcolo:

• $2\pi\varepsilon_0 = 2\pi \times 8{,}854187817\times10^{-12} \approx 5{,}56265\times10^{-11}.$

  2πε0​=2π×8,854187817×10−12≈5,56265×10−11. (calcolo: 
  $2\pi\approx6{,}283185307$$6{,}283185307\times8{,}854187817\times10^{-12} = 55{,}6265\times10^{-12} = 5{,}56265\times10^{-11}$

• Denominatore 
  $= 5{,}56265\times10^{-11}\times r = 5{,}56265\times10^{-11}\times 0{,}05 = 2{,}781325\times10^{-12}.$

• Divisione: 
  $E = \lambda / (2\pi\varepsilon_0 r) = 1{,}00\times10^{-6} / 2{,}781325\times10^{-12}.$

  • $1{,}00\times10^{-6} / 2{,}781325\times10^{-12} = (1{,}00/2{,}781325)\times10^{6} = 0{,}3595\times10^{6} \approx 3{,}595\times10^{5}\ \mathrm{N/C}.$

    1,00×10−6/2,781325×10−12=(1,00/2,781325)×106=0,3595×106≈3,595×105 N/C. (calcolo: 
    $1/2{,}781325 \approx 0{,}35953$$10^{6}$$359{,}53\times10^{3} = 3{,}5953\times10^{5}$

Risposta: 

$E \approx 3{,}60\times10^{5}\ \mathrm{N/C}$

Esercizio B — Potenziale tra due punti di una carica puntiforme

Carica 

$q=+2{,}0\ \mu\mathrm{C}$$V$$r_1=0{,}10\ \mathrm{m}$$r_2=0{,}50\ \mathrm{m}$$V(r_1)-V(r_2)$

$$V(r) = k_e\frac{q}{r}.$$

V(r)=ke​rq​.

Numeri:

• $q=2{,}0\times10^{-6}$

  q=2,0×10−6.

• $V(r_1) = 8{,}99\times10^{9}\times\frac{2{,}0\times10^{-6}}{0{,}10}.$

  V(r1​)=8,99×109×0,102,0×10−6​.

  • Numeratore: 
    $8{,}99\times10^{9}\times2{,}0\times10^{-6} = 17{,}98\times10^{3} = 17980.$

  • Divisione: 
    $17980/0{,}10 = 179800\ \mathrm{V}.$

• $V(r_2) = 17980/0{,}50 = 35{,}960\ \mathrm{V}.$

  V(r2​)=17980/0,50=35,960 V.

• Differenza: 
  $179{,}800 - 35{,}960 = 143{,}840\ \mathrm{V}.$

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9) Troubleshooting concettuale e suggerimenti

• Usa la simmetria: Gauss funziona solo se puoi assumere 
  $E$

• Attenzione ai segni: 
  $q$$\vec E$

• Unità: trasformare sempre μC→C, mm→m, cm→m ecc.

• Energia: per capacità piccole l’energia è spesso microscopica; tieni traccia delle potenze di 10.

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10) Esercizi proposti (da svolgere)

1. Campo sull’asse di un disco uniformemente carico (integrare superfice).

2. Potenziale di una barra finita di carica lineare 
   $\lambda$

3. Calcolare la capacità di due piastre parallele con area 
   $0{,}02\ \mathrm{m^2}$$2\ \mathrm{mm}$$\varepsilon_r = 3$

4. Sistema di tre condensatori in serie/parallelo: determinare 
   $C_\text{eq}$$Q$$U$$V$

5. Sfera cavo (shell) con carica 
   $Q$$R$

(Se vuoi, posso sviluppare le soluzioni complete, passo-passo, di questi esercizi.)

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Conclusione rapida

Questo modulo fornisce il fondamento matematico e fisico per la comprensione dei fenomeni elettrostatici: dalle interazioni puntiformi (Coulomb) alle distribuzioni continue (integrazione), fino agli strumenti potenti come il teorema di Gauss e il concetto di potenziale. Le applicazioni pratiche (condensatori, dielettrici, energia immagazzinata) sono essenziali per l’ingegneria e la fisica sperimentale.