Corso di Elettromagnetismo: 3 – Corrente elettrica e circuiti

3 – Corrente elettrica e circuiti

Concetti fondamentali
Corrente elettrica (I): quantità di carica che attraversa una sezione per unità di tempo.
I = dQ / dt
Unità: ampere (A) = coulomb / secondi (C/s).

Densità di corrente (J): corrente per unità di area.
J = I / A
Unità: A / m^2.

Legge di Ohm (forma locale e macroscopica)
Forma macroscopica: V = R · I
V è la tensione tra due punti (volt, V), R è la resistenza (ohm, Ω), I è la corrente (A).

Forma locale (campo elettrico E e conducibilità sigma):
J = sigma · E
oppure E = rho · J, dove rho = 1 / sigma è la resistività (ohm·m).

Resistenza e resistività
Per un conduttore cilindrico uniforme:
R = rho · (L / A)
dove:
rho = resistività [Ω·m],
L = lunghezza [m],
A = sezione trasversale [m^2].

Dipendenza dalla temperatura (approssimata, per metalli):
R(T) = R0 [1 + alpha · (T − T0)]
dove alpha è il coefficiente di temperatura [1/K].

Esempio 1 — Resistenza di un filo
Filo di rame (rho_cu ≈ 1.68e-8 Ω·m), lunghezza L = 50 m, sezione circolare diametro d = 1.0 mm = 0.001 m.
A = pi · (d/2)^2 = pi · (0.0005)^2 ≈ 7.85398e-7 m^2
R = rho · L / A = 1.68e-8 · 50 / 7.85398e-7 ≈ (8.4e-7) / 7.85398e-7 ≈ 1.069 Ω
Risultato: R ≈ 1.07 Ω.

Serie e parallelo (resistori)
Serie: R_eq = R1 + R2 + ... + Rn
Parallelo: 1 / R_eq = 1 / R1 + 1 / R2 + ... + 1 / Rn

Esempio 2 — Resistenze combinate
R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω in parallelo, poi in serie con R3 = 5 Ω.
1/Rp = 1/10 + 1/20 = 0.1 + 0.05 = 0.15 → Rp = 6.6667 Ω
R_eq = Rp + R3 = 6.6667 + 5 = 11.6667 Ω

Leggi di Kirchhoff
Kirchhoff delle correnti (KCL): la somma delle correnti entranti in un nodo è zero.
Σ I_in = Σ I_out

Kirchhoff delle tensioni (KVL): la somma delle cadute di potenziale lungo un percorso chiuso è zero.
Σ ΔV = 0

Esempio 3 — Circuito con KCL e KVL (risoluzione)
Circuito: generatore V = 12 V, R1 = 10 Ω in serie con un nodo che divide in R2 = 20 Ω e R3 = 30 Ω in parallelo; trovare correnti e tensioni.

Passaggi:

1. Calcolare resistenza equivalente del parallelo R2//R3:
   1/Rp = 1/20 + 1/30 = 0.05 + 0.033333 = 0.083333 → Rp = 12 Ω

2. R_eq totale = R1 + Rp = 10 + 12 = 22 Ω

3. Corrente totale I_tot = V / R_eq = 12 / 22 ≈ 0.54545 A

4. Tensione ai capi del parallelo (nodo dopo R1): V_par = I_tot · Rp = 0.54545 · 12 ≈ 6.5454 V

5. Correnti nei rami:
   I2 = V_par / R2 = 6.5454 / 20 ≈ 0.32727 A
   I3 = V_par / R3 = 6.5454 / 30 ≈ 0.21818 A
   Controllo: I2 + I3 = 0.32727 + 0.21818 = 0.54545 = I_tot (coincide).

Potenza dissipata
Potenza su resistore: P = V · I = I^2 · R = V^2 / R
Esempio: su R1 con I_tot = 0.54545 A: P1 = I^2 R1 = (0.54545)^2 · 10 ≈ 2.975 A·V → 2.975 W.

Circuiti in continua: condensatori e carica
Capacità C (Farad, F): Q = C · V
Energia immagazzinata: U = (1/2) C V^2

Condensatori in serie/parallelo:
Parallelo: C_eq = C1 + C2 + ...
Serie: 1 / C_eq = 1 / C1 + 1 / C2 + ...

Esempio 4 — Capacitori in serie
C1 = 4 μF, C2 = 6 μF in serie: 1/Ceq = 1/4 + 1/6 = 0.25 + 0.1666667 = 0.4166667 → Ceq = 2.4 μF.

Circuiti RC in regime transitorio (carica e scarica)
Equazione per carica di un condensatore in circuito RC (carica con tensione V0 e serie R):
V_C(t) = V0 · (1 − exp(−t / tau))
I(t) = (V0 / R) · exp(−t / tau)
tau = R · C (costante di tempo), unità secondi (s).

Scarica (condensatore inizialmente carico V0 su R quando circuito chiuso):
V_C(t) = V0 · exp(−t / tau)
I(t) = (V0 / R) · exp(−t / tau) (direzione di scarica)

Esempio 5 — Circuito RC (carica)
R = 1 kΩ = 1000 Ω, C = 10 μF = 10e-6 F, V0 = 5 V.
tau = R C = 1000 · 10e-6 = 0.01 s = 10 ms.

Valori:
t = 0: V_C(0) = 0
t = tau = 0.01 s: V_C(tau) = 5 · (1 − e^(−1)) ≈ 5 · (1 − 0.3679) = 5 · 0.6321 = 3.1605 V
t = 5·tau = 0.05 s: V_C(5tau) ≈ 5 · (1 − e^(−5)) ≈ 5 · (1 − 0.0067379) ≈ 4.9663 V (praticamente carico al 99.3%)

Corrente iniziale I(0) = V0 / R = 5 / 1000 = 0.005 A = 5 mA
I(tau) = 5 mA · e^(−1) ≈ 1.839 mA

Controllo energetico:
Energia fornita dalla sorgente fino a carica completa: E_source = C V0^2 = 0.5 C V0^2 + dissipata in resistenza
Energia accumulata nel condensatore: U = 1/2 C V0^2
Nel processo ideale metà dell'energia fornita viene dissipata in R, metà immagazzinata.

Esempio 6 — Scarica e tempo per dimezzamento
Condensatore carico V0 = 10 V, R = 5 kΩ, C = 1 μF.
tau = 5000 · 1e-6 = 0.005 s = 5 ms.
Quanto tempo per V_C = V0 / 2?
V_C(t) = V0 e^(−t/tau) → 1/2 = e^(−t/tau) → t = tau · ln(2) ≈ 0.005 · 0.6931 = 0.0034655 s = 3.47 ms.

Flusso e Legge di Gauss (richiami utili)
Flusso elettrico: Phi_E = ∮_S E · dA
Legge di Gauss (differenziale): ∮_S E · dA = Q_int / epsilon_0
epsilon_0 = 8.854187817e-12 F/m.

Simmetrie utili e campi risultanti
Sfera carica (carica totale Q, r > R_sfera):
E(r) = (1 / (4 pi epsilon_0)) · (Q / r^2), direzione radiale.
Campo di un filo infinito lineare (carica lineica lambda): E(r) = (lambda) / (2 pi epsilon_0 r)
Piano infinito (carica superficiale sigma): E = sigma / (2 epsilon_0) (costante, su entrambi i lati).

Esempio 7 — Campo di una sfera carica
Sfera puntiforme con Q = 5e-6 C, calcolare E a r = 0.2 m.
E = (1 / (4 pi epsilon_0)) · Q / r^2
Costante k = 1/(4 pi epsilon_0) ≈ 8.98755179e9 N·m^2/C^2
E = 8.98755e9 · 5e-6 / (0.2^2) = 8.98755e9 · 5e-6 / 0.04
Numeratore: 8.98755e9 · 5e-6 = 44937.8
E = 44937.8 / 0.04 = 1,123,445 V/m ≈ 1.12e6 V/m.

Condensatori e energia elettrostatica (richiami e formule pratiche)
Capacità di una piastra parallela: C = epsilon_0 · epsilon_r · A / d
dove epsilon_r è la costante dielettrica relativa del materiale tra piastre, A area [m^2], d distanza [m].

Energia immagazzinata: U = 1/2 C V^2 = Q^2 / (2 C)

Effetto dei dielettrici
Inserendo un dielettrico con costante epsilon_r aumenta la capacità: C_new = epsilon_r · C0.
Motivo fisico: polarizzazione del materiale riduce campo interno per la stessa carica, aumentando capacità.

Esempio 8 — Capacità piastra e energia
Piastre A = 0.01 m^2 (10 cm x 10 cm), d = 1 mm = 0.001 m, vuoto epsilon_0.
C = epsilon_0 A / d = 8.854e-12 · 0.01 / 0.001 = 8.854e-13 / 0.001 = 8.854e-11 F = 88.54 pF
Se V = 100 V: U = 1/2 C V^2 = 0.5 · 8.854e-11 · 10000 = 0.5 · 8.854e-7 = 4.427e-7 J = 0.4427 μJ.

Esempio 9 — Effetto dielettrico
Stesso set-up con dielettrico epsilon_r = 4:
C_new = 4 · 8.854e-11 = 3.5416e-10 F → U_new = 0.5 · 3.5416e-10 · 10000 = 1.7708e-6 J (circa 1.77 μJ).

Controllo dimensionale e buone pratiche
• Verificare sempre unità: R in Ω, C in F, V in V, I in A, energia in J.
• Per integrali o soluzioni ODE (es. circuito RC), controllare costante di tempo tau = R C in secondi.
• Usare arrotondamenti coerenti e indicare i passi numerici.

Esercizio completo svolto — Circuito misto con condensatore
Problema: generatore V0 = 12 V, R1 = 2 kΩ in serie con (un parallelo formato da R2 = 4 kΩ e un condensatore C = 10 μF inizialmente scarico). All'istante t = 0 si chiude l'interruttore. Trovare la corrente iniziale I(0) e la tensione ai capi del parallelo a t → ∞.

Soluzione ragionata:

1. All'istante t = 0+ il condensatore si comporta come cortocircuito (V_C(0)=0), quindi il parallelo R2 // C ha impedenza praticamente 0 (solo ramo C conduce).

2. Corrente iniziale I(0) attraversa R1 e va verso il parallelo: I(0) = V0 / R1 = 12 / 2000 = 0.006 A = 6 mA.

3. A regime t → ∞ il condensatore è carico e si comporta come circuito aperto; quindi solo R2 costituisce il ramo parallelo.

4. Tensione ai capi del parallelo (alla fine) V_par(∞) = V0 · R2 / (R1 + R2) = 12 · 4000 / (2000 + 4000) = 12 · 4000 / 6000 = 12 · 2/3 = 8 V.

5. Corrente finale I(∞) = V_par(∞) / R2 = 8 / 4000 = 0.002 A = 2 mA
   Controllo: corrente in R1 all'inizio 6 mA; alla fine 2 mA (parte era andata a caricare C, poi nulla più).

Sintesi e raccomandazioni per lo studente
• Inizia sempre con uno schema chiaro del circuito e identifica nodi/loop.
• Applica prima le relazioni elementari (Ohm, R = rho L/A), poi KCL/KVL per sistemi complessi.
• Per circuiti transitori RC, ricordati tau = R_eq · C (l'R_eq visto dal condensatore) e le formule esponenziali.
• Controlla le unità ad ogni passaggio e usa approssimazioni fisiche con criterio (es.: condensatore inizialmente corto, a regime aperto).