Corso di Elettromagnetismo: 4

Corso di Elettromagnetismo: 4 – Magnetostatica

dicembre 18, 2025

4 – Magnetostatica

Obiettivi

Presentare le leggi fondamentali della magnetostatica: forza di Lorentz, legge di Biot–Savart, teorema di Ampère.
Calcolare campi magnetici generati da correnti stazionarie: filo rettilineo infinito, anello, solenoide, toroide.
Definire flusso magnetico e circuitazione; introdurre materiali magnetici (diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo).
Fornire esercizi ed esempi numerici pronti da inserire nel blog.

1. Concetti base e notazione

Campo magnetico: vettore B (unità SI: tesla, T).
Corrente elettrica: I (ampere, A).
Costante del vuoto: mu0 = 4·π·10^(-7) H/m (henry per metro).
Indicazione vettoriale testuale: usare "→" o scrivere, p.es., B = (B_x, B_y, B_z).

2. Forza di Lorentz

La forza esercitata su una carica q che si muove con velocità v in un campo magnetico B è:

Formula (testuale): F = q · (v × B)
Interpretazione: la forza è perpendicolare sia a v sia a B; modulo F = |q|·v·B·sin(theta), dove theta è l’angolo tra v e B.
Unità: newton (N).

Esempio numerico
Una particella con carica q = 1.6·10^(-19) C si muove a v = 10^6 m/s perpendicolare a un campo B = 0.01 T.
F = q·v·B = 1.6·10^(-19) · 10^6 · 0.01 = 1.6·10^(-15) N.

3. Legge di Biot–Savart (campo generato da un filamento di corrente)

Forma integrale (testuale):
B(r) = (mu0 / (4·π)) · ∫ [ I·(dl × r_hat) / r^2 ]

Dove:

I è la corrente;
dl è l’elemento vettoriale di lunghezza lungo il filo;
r è la distanza tra dl e il punto di osservazione;
r_hat è il versore dalla sorgente al punto.

Applicazioni semplici:

Filo rettilineo infinito (campo a distanza r dal filo):
- B = (mu0·I) / (2·π·r) (direzione: circolare intorno al filo, data dalla regola della mano destra).
Anello circolare di raggio R, campo al centro:
- B_center = (mu0·I) / (2·R) lungo l’asse dell’anello.

Esempio numerico — filo infinito
I = 5 A, distanza r = 0.02 m (2 cm):
B = (4·π·10^(-7) · 5) / (2·π · 0.02) = (2·10^(-6) · 5) / 0.02 ≈ (1·10^(-5)) / 0.02 = 5·10^(-4) T = 0.5 mT.

4. Teorema di Ampère (circuitazione del campo magnetico)

Forma integrale (testuale):
∮ B · dl = mu0 · I_int

Dove l’integrale è lungo una linea chiusa di integrazione (cammino di Ampère) e I_int è la corrente totale racchiusa dal cammino.

Applicazioni tipiche:

Filo rettilineo infinito: usando un cammino circolare centrato sul filo si ricava B = mu0·I / (2·π·r) (vedi sopra).
Solenoide (lungo e strettamente avvolto): campo all’interno (approssimazione per solenoide lungo e uniforme)
- B_inside ≈ mu0 · n · I
- dove n = numero spire per unità di lunghezza (spire/m).
Toroide: se le spire formano un toroide circolare, per un cammino circolare all’interno:
- B(r) = mu0 · N · I / (2·π·r)
- dove N è il numero totale di spire e r la distanza radiale dal centro del toroide.

Esempio numerico — solenoide
Solenoide con N = 1000 spire distribuite su lunghezza L = 0.5 m → n = 1000 / 0.5 = 2000 spire/m. Con I = 2 A:
B ≈ mu0 · n · I = 4·π·10^(-7) · 2000 · 2 ≈ (4·π·10^(-7) · 4000) ≈ (16·π·10^(-4))·10^(-3) ≈ 5.03·10^(-3) T ≈ 5.0 mT.
(Nota: calcolo approssimativo; moltiplica mu0·4000: 4π·10^(-7)·4000 ≈ 5.0265·10^(-3) T.)

5. Flusso magnetico e circuitazione

Flusso magnetico Φ_B attraverso una superficie S:
- Φ_B = ∫_S B · dA (unità: weber, Wb).
Legge di Faraday (collegamento dinamico): variazione di flusso induce una forza elettromotrice (ma è fuori dalla magnetostatica se il campo cambia nel tempo).
Circuitazione: la circuitazione ∮B·dl è la quantità usata in Ampère (vedi sopra).

6. Materiali magnetici: tipi e comportamenti

Diamagnetismo: caratterizzato da una suscettibilità magnetica negativa; materiale leggermente respinto dal campo B (es.: bismuto, rame in qualche misura). Effetto debole e presente in tutti i materiali ma dominato da altri in molti casi.
Paramagnetismo: suscettibilità positiva piccola; attrazione debole verso il campo (es.: alluminio, ossigeno gassoso). Magnetizzazione proporzionale al campo applicato e scompare senza campo.
Ferromagnetismo: magnetizzazione spontanea, forte, con isteresi; materiali come ferro, nichel, cobalto e loro leghe. Mostrano domini magnetici, saturazione, coercitività.
Concetto chiave: in presenza di materiali, si introducono i vettori H (campo magnetico) e M (magnetizzazione), con relazione B = mu0 (H + M) oppure B = mu · H con permeabilità mu = mu0 · mu_r (mu_r = permeabilità relativa).

7. Esempi numerici svolti (pronti per il blog)

Esempio A — Campo al centro di un anello

Dati: I = 3 A, R = 0.05 m (5 cm).
B_center = mu0·I / (2·R) = (4·π·10^(-7) · 3) / (2·0.05) ≈ (12·π·10^(-7)) / 0.1 ≈ (1.2·π·10^(-5)) ≈ 3.77·10^(-5) T = 37.7 μT.

Esempio B — Forza su una corrente in un campo

Una barra conduttrice di lunghezza L = 0.1 m attraversa un campo B = 0.02 T perpendicolare; attraverso la barra scorre I = 5 A.
Forza F = I · L × B (modulo) = I · L · B = 5 · 0.1 · 0.02 = 0.01 N.

8. Esercizi consigliati per studenti

Calcola il campo magnetico a distanza r = 10 cm da un filo infinito che porta I = 2 A.
Trova il campo al centro di un anello di raggio 10 cm con I = 1 A.
Per un solenoide lungo 0.4 m con 800 spire percorso da 1.5 A, calcola B interno approssimato.
Determina la forza su una sezione rettilinea di filo di lunghezza 0.2 m, percorsa da 4 A, immersa in un campo B = 0.05 T con angolo 30° tra L e B.

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