Corso di Elettromagnetismo: 5 – Induzione elettromagnetica

6 — Induzione Elettromagnetica

Obiettivi

Presentare la legge di Faraday–Neumann–Lenz e la sua interpretazione.
Spiegare autoinduzione e mutua induzione, definire l’induttanza L.
Derivare le equazioni per circuiti RL, LC, RLC e mostrare le risposte a gradino.
Calcolare l’energia immagazzinata nel campo magnetico.
Illustrare applicazioni pratiche: generatori e trasformatori.

1) Concetti base: flusso magnetico e forza elettromotrice indotta (f.e.m.)

Flusso magnetico attraverso una superficie S:
Φ_B = ∫_S B · dA
(unità SI: weber, Wb)
Forza elettromotrice indotta (f.e.m.) secondo la legge di Faraday–Neumann:
E (epsilon) = − dΦ_B / dt
(il segno negativo è Lenz: la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso che la genera)
Legge di Lenz (interpretazione): la corrente indotta crea un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso originario (conservazione dell’energia).

2) Autoinduzione e mutua induzione

Autoinduzione: in una spira o avvolgimento la f.e.m. indotta è proporzionale alla variazione di corrente che attraversa lo stesso avvolgimento:
E = − L · dI/dt
dove L è l’induttanza (unità: henry, H).
Definizione di induttanza: L = (N · Φ_B) / I
con N numero di spire, Φ_B flusso per spira, I corrente. Per N=1 si ha L = Φ_B / I.
Mutua induzione: per due avvolgimenti 1 e 2:
Φ_21 = M · I_1 → f.e.m. indotta nel circuito 2 per variazione di I1:
E_2 = − M · dI_1/dt
dove M è il coefficiente di mutua induzione (H), simmetrico: M_12 = M_21.
Relazione tra M e L: per avvolgimenti strettamente accoppiati è M^2 ≤ L1·L2 (con uguaglianza per accoppiamento perfetto).

3) Energia immagazzinata nel campo magnetico

Energia contenuta in un induttore:
U = 1/2 · L · I^2 (Joule)
In presenza di più induttori accoppiati:
U = 1/2 ( L1 I1^2 + L2 I2^2 + 2 M I1 I2 )
Un modo fisico: l’energia è il lavoro per costruire la corrente contro le f.e.m. di autoinduzione.

4) Circuiti RL, LC, RLC — equazioni e risposte

A) Circuito RL in serie (risposta a gradino di tensione)

Circuito: sorgente V0 applicata a R in serie con L (pos. V è gradino a t=0).

Equazione (KVL): V0 = L (dI/dt) + R I

Forma standard:
dI/dt + (R/L) I = V0 / L

Soluzione per t ≥ 0 (cond. iniziale I(0)=0):
I(t) = (V0 / R) · (1 − exp(− (R/L) t) )

Costante di tempo: τ = L / R
Nei primi istanti (t << τ) la corrente cresce quasi linearmente; t → ∞ corrente a regime I = V0/R.

Esempio numerico RL
Dati: V0 = 10 V, R = 5 Ω, L = 0.2 H
τ = L/R = 0.2 / 5 = 0.04 s
I(∞) = V0 / R = 2 A
I(t) = 2 · (1 − exp(−t/0.04))

A t = 0.04 s: I(0.04) ≈ 2 · (1 − e^(−1)) ≈ 2 · (1 − 0.3679) = 2 · 0.6321 ≈ 1.2642 A.

B) Circuito LC (senza dissipazione) — oscillatore ideale

Circuito: L e C in serie (o parallelo); nessuna resistenza.

Equazioni:

per serie (KVL): L dI/dt + (1/C) ∫ I dt = 0
differenziando: L d^2I/dt^2 + (1/C) I = 0

Equazione armonica: d^2I/dt^2 + (1/LC) I = 0

Soluzione: corrente e tensione oscillano con pulsazione naturale:
ω0 = 1 / sqrt(L C)
I(t) = I0 cos(ω0 t + φ)

Energia scambiata tra induttore e condensatore:
U_total = (1/2) L I^2 + (1/2) C V_C^2 = costante (conservazione energia)

Esempio numerico LC
Dati: L = 10 mH (0.01 H), C = 10 μF (10e-6 F)
ω0 = 1 / sqrt(0.01 * 10e-6) = 1 / sqrt(1e-7) = 1 / 3.1623e-4 ≈ 3162.3 rad/s
f0 = ω0 / (2π) ≈ 503.3 Hz

C) Circuito RLC serie (dissipazione e risposta al gradino)

Equazione (KVL): L d^2q/dt^2 + R dq/dt + (1/C) q = V(t), con q carica sul condensatore; I = dq/dt

Forma standard per I:
L d^2I/dt^2 + R dI/dt + (1/C) I = dV/dt (ma più comodo usare equazione per q con sorgente gradino)

Per sorgente a gradino V(t)=V0·u(t) e condizioni iniziali q(0)=0, dq/dt(0)=0 si ottengono risposte secondo il fattore di smorzamento:

Definisci: ω0 = 1/ sqrt(L C) (pulsazione naturale); α = R / (2 L) (smorzamento)
Tre regimi:
- Sottosmorzato: α < ω0 → risposta oscillatoria smorzata (soluzione con e^{−α t} cos ωd t)
- Criticamente smorzato: α = ω0 → risposta non oscillatoria, tempo di ritorno minimo
- Sovrasmorzato: α > ω0 → ritorno senza oscillazioni

Soluzione (sottosmorzato, tipica):
I(t) = (V0 / (L ω_d)) · e^{−α t} · sin(ω_d t) (per cond. iniziali specifiche; la forma completa ha termini cos e sin se condizioni iniziali diverse)

dove ω_d = sqrt(ω0^2 − α^2)

Esempio numerico RLC
Dati: R = 10 Ω, L = 50 mH (0.05 H), C = 10 μF (1e-5 F), V0 = 5 V (gradino)

Calcoli:
ω0 = 1 / sqrt(L C) = 1 / sqrt(0.05 * 1e-5) = 1 / sqrt(5e-7) ≈ 1 / 7.0711e-4 ≈ 1414.21 rad/s
α = R / (2 L) = 10 / (2 * 0.05) = 10 / 0.1 = 100 s^(−1)
Confronto: α = 100, ω0 ≈ 1414 → α << ω0 ⇒ fortemente sottosmorzato.

ω_d = sqrt(ω0^2 − α^2) ≈ sqrt(2.0e6 − 1e4) ≈ ~1410.8 rad/s

La risposta sarà un’oscillazione smorzata con esponenziale e^{−100 t}, quindi decadimento tempo caratteristico 1/α = 0.01 s.

5) Energia e lavoro in transitori

Potenza istantanea fornita dalla sorgente: P(t) = V(t) · I(t)
Energia immagazzinata nell’induttore: U_L = 1/2 L I^2
Durante transitori (gradino, ecc.) parte dell’energia viene dissipata in R (termica), parte immagazzinata nel campo magnetico e parte trasferita al condensatore nel caso di circuiti LC.

6) Esempi svolti

Esempio 1 — RL step (blocco )

<h3>Esempio RL: risposta a gradino</h3>
<pre><code>
Dati: V0 = 10 V, R = 5 Ω, L = 0.2 H
tau = L / R = 0.2 / 5 = 0.04 s
Corrente a regime: I_inf = V0 / R = 2 A

Soluzione:
I(t) = 2 * (1 - exp(-t / 0.04))

Valore a t = 0.02 s:
I(0.02) = 2 * (1 - exp(-0.5)) ≈ 2 * (1 - 0.60653) ≈ 2 * 0.39347 ≈ 0.78694 A
</code></pre>

Esempio 2 — LC frequenza risonante

<h3>Esempio LC: frequenza di risonanza</h3>
<pre><code>
Dati: L = 10 mH = 0.01 H, C = 10 μF = 1e-5 F
omega0 = 1 / sqrt(L * C) = 1 / sqrt(0.01 * 1e-5) = 3162.3 rad/s
f0 = omega0 / (2*pi) ≈ 503.3 Hz
</code></pre>

Esempio 3 — Energia in un induttore

<h3>Esempio energia</h3>
<pre><code>
Dati: L = 0.2 H, I = 1.5 A
U = 0.5 * L * I^2 = 0.5 * 0.2 * (1.5)^2 = 0.1 * 2.25 = 0.225 J
</code></pre>

7) Applicazioni pratiche

A) Generatori (dinamo / alternatori)

Un conduttore che taglia linee di flusso magnetico subisce una f.e.m. indotta E = − dΦ/dt; ruotando spire nel campo si genera una tensione alternata: E(t) = N·B·A·ω·sin(ω t) (per campo uniforme e rotazione a ω).
Potenza meccanica → potenza elettrica; l’equilibrio fra coppia motrice e coppia elettrica è stabilito dalle correnti indotte.

B) Trasformatori

Due avvolgimenti accoppiati: una tensione alternata V1 su primario genera un flusso variabile Φ(t) nel nucleo, che induce V2 = − N2 dΦ/dt nel secondario.
Rapporto di trasformazione ideale: V2 / V1 = N2 / N1
Potenza trasferita (ideale): P2 ≈ P1 (trascurando perdite), con corrente inversamente proporzionale alle spire: I1/I2 = N2/N1.
Trasformatore aumenta/diminuisce tensione e corrente con conservazione approssimata dell’energia (meno perdite).

8) Note pratiche e limiti

Induttanze reali hanno resistenza ohmica e perdite parassite (core losses: isteresi e correnti parassite) che limitano l’efficienza.
Per analisi dinamiche usare equazioni differenziali; per analisi di rete usare modelli nello stato stazionario con fasori (per segnali sinusoidali) o trasformata di Laplace per transitori.
Per calcoli di circuito RLC usare la trasformata di Laplace: rappresentazione impedenza Z_L = s L, Z_C = 1/(s C), con s = σ + jω.

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