Corso di Elettromagnetismo: 7 – Onde elettromagnetiche

7 Onde Elettromagnetiche

Le onde elettromagnetiche rappresentano una delle soluzioni fondamentali delle equazioni di Maxwell. Sono oscillazioni accoppiate di campo elettrico E e campo magnetico B, che si propagano nello spazio trasportando energia.

---

1. Propagazione delle onde nel vuoto

Nel vuoto, le equazioni di Maxwell portano all’equazione d’onda per i campi:

$$\nabla^2 \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$$ $$\nabla^2 \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$$

La velocità di propagazione è la velocità della luce:

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$$

• I campi sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione.

• L’onda è quindi trasversale.

Esempio numerico:
Calcoliamo $c$ con i valori delle costanti:

• $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$

• $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$

$$c = \frac{1}{\sqrt{(4\pi \times 10^{-7})(8.85 \times 10^{-12})}} \approx 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}$$

---

2. Polarizzazione delle onde

La polarizzazione descrive l’orientamento del campo elettrico dell’onda:

• Lineare: il vettore $\vec{E}$ oscilla lungo una direzione fissa.

• Circolare: la punta di $\vec{E}$ descrive una circonferenza.

• Ellittica: generalizzazione della circolare.

Esempio pratico: La luce del Sole è non polarizzata, mentre quella emessa da un laser può essere fortemente polarizzata linearmente.

---

3. Onde piane, energia e intensità

Un’onda piana armonica può essere descritta da:

$$\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(kz - \omega t) \, \hat{x}$$ $$\vec{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \cos(kz - \omega t) \, \hat{y}$$

dove:

• $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ è il numero d’onda,

• $\omega = 2\pi f$ la pulsazione,

• $\lambda$ la lunghezza d’onda.

L’energia trasportata dall’onda è descritta dal vettore di Poynting:

$$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}$$

L’intensità media è:

$$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$$

Esempio numerico:
Per un campo elettrico massimo $E_0 = 100 \, \text{V/m}$:

$$I = \frac{1}{2} (8.85 \times 10^{-12})(3 \times 10^8)(100^2) \approx 0.133 \, \text{W/m}^2$$

---

4. Onde in mezzi dielettrici e conduttori

In un mezzo materiale la velocità si riduce:

$$v = \frac{c}{n}$$

dove $n$ è l’indice di rifrazione.

• Nei dielettrici: $n > 1$.

• Nei conduttori: l’onda viene in gran parte assorbita e trasformata in calore (effetto Joule).

Esempio:
Nel vetro con $n \approx 1.5$:

$$v = \frac{3 \times 10^8}{1.5} \approx 2 \times 10^8 \, \text{m/s}$$

---

5. Riflessione e rifrazione (leggi di Fresnel)

Quando un’onda passa da un mezzo a un altro:

• Riflessione: parte dell’onda viene riflessa.

• Rifrazione: parte entra nel nuovo mezzo, deviando secondo la legge di Snell:

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

Se $n_1 > n_2$, può verificarsi la riflessione totale.

Esempio:
Un raggio luminoso passa da acqua ($n=1.33$) ad aria ($n=1$).
Angolo limite:

$$\theta_c = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{1.33}\right) \approx 48.8^\circ$$

Oltre tale angolo, l’onda non esce più, ma viene riflessa internamente.

---

6. Guide d’onda e cavità risonanti

• Guide d’onda: strutture che confinano le onde (es. microonde in tubi metallici).

• Cavità risonanti: spazi chiusi dove si instaurano onde stazionarie.
  Usate in laser e acceleratori di particelle.

---

7. Applicazioni pratiche

Circuiti AC

Le onde sinusoidali descrivono perfettamente i regimi in corrente alternata.

• Impedenza di un circuito RLC:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

con $X_L = \omega L$, $X_C = \frac{1}{\omega C}$.

• Potenza reale: $P = V I \cos\phi$

• Potenza reattiva: $Q = V I \sin\phi$

• Potenza apparente: $S = V I$

Esempio numerico:
Circuito con $R=10 \, \Omega$, $L=0.1 \, H$, $C=100 \, \mu F$, $f=50 \, Hz$.

• $X_L = 2\pi (50)(0.1) = 31.4 \, \Omega$

• $X_C = \frac{1}{2\pi (50)(100 \times 10^{-6})} \approx 31.8 \, \Omega$

$$Z = \sqrt{10^2 + (31.4 - 31.8)^2} \approx 10 \, \Omega$$

Quasi risonanza, l’impedenza minima coincide con quella resistiva.

---

Trasformatori e macchine elettriche

• Basati sul principio dell’induzione elettromagnetica.

• Permettono la conversione di tensione e la trasmissione di energia.

---

Onde EM nei mezzi materiali

• Riflessione e rifrazione per fibra ottica.

• Guida d’onda per microonde e telecomunicazioni.

• Risonanza nei radar e nei forni a microonde.