Corso di Termodinamica: 3 – Cicli Termodinamici

Modulo 3 – Cicli Termodinamici

Introduzione

I cicli termodinamici descrivono sequenze di trasformazioni di un fluido di lavoro che consentono di convertire calore in lavoro (o viceversa). Sono alla base delle macchine termiche (motori, turbine, frigoriferi). Qui analizziamo i cicli fondamentali: Carnot, Otto, Diesel, Rankine e il ciclo frigorifero a compressione di vapore. Per ogni ciclo forniamo formule, interpretazioni e esempi numerici.

Richiami sulle trasformazioni elementari
Isoterma (T = costante)
Lavoro svolto L = n R T ln(Vf / Vi)
Il calore scambiato Q = L (per un gas ideale)

Isocora (V = costante)
ΔU = Q (tutto il calore varia l'energia interna)
L = 0

Isobara (p = costante)
Q = ΔH = n Cp ΔT
Lavoro L = p ΔV

Adiabatica (Q = 0)
Per gas ideale: p V^gamma = costante, con gamma = Cp / Cv
Relazione tra temperature: T V^(gamma-1) = costante
Lavoro tra Vi e Vf: L = (p_i V_i - p_f V_f) / (gamma - 1)

Politròpica (p V^n = costante)
Generalizza le trasformazioni; n parametro che definisce il processo.

Nota sulle unità
n (mol), R = 8.314 J/(mol·K), T in K, p in Pa, V in m^3, lavoro e calore in joule (J).

1. Ciclo di Carnot (ciclo reversibile ideale)
   Definizione e significato
   Il ciclo di Carnot è il ciclo termico reversibile che opera tra due sorgenti termiche a temperatura costante TH (alta) e TC (bassa). Fornisce il massimo rendimento teorico possibile per una macchina termica tra quelle due temperature.

Struttura del ciclo Carnot (gas ideale):

1. Isoterma di espansione a T = TH: assorbimento di calore Q_H.

2. Adiabatica di espansione: T scende da TH a TC.

3. Isoterma di compressione a T = TC: cessione di calore Q_C.

4. Adiabatica di compressione: temperatura torna da TC a TH.

Rendimento ideale (Carnot)
eta_Carnot = 1 - (T_C / T_H)
con T in kelvin.

Esempio numerico (Carnot)
Sorgente calda TH = 600 K, sorgente fredda TC = 300 K.
eta = 1 - (300 / 600) = 1 - 0.5 = 0.5 → 50% di rendimento massimo teorico.

Se la macchina assorbe Q_H = 1000 kJ per ciclo, lavoro utile W = eta * Q_H = 0.5 * 1000 = 500 kJ; calore ceduto Q_C = Q_H - W = 500 kJ.

Controllo dimensionale: T ratio adimensionale → eta adimensionale.

Limiti pratici
Il ciclo Carnot è idealizzato: richiede trasformazioni reversibili, assenza di attriti, scambi termici infinitamente lenti; non è realizzabile, ma fornisce un riferimento di massimo teorico.

2. Ciclo Otto (motore a benzina, ciclo ideale per motore a scintilla)
   Descrizione
   Il ciclo Otto è modello per motori a combustione interna con accensione per scintilla. Funziona con due trasformazioni isocore (compressione/combustione) e due adiabatiche (compressione/espansione) ideali.

Sequenza (per ciclo ideale):

1. Adiabatica compressione (1 → 2): V1 → V2.

2. Isocora (2 → 3): combustione, incremento di energia interna (aumento T).

3. Adiabatica espansione (3 → 4): lavoro sul pistone.

4. Isocora (4 → 1): scarico e raffreddamento a condizioni iniziali.

Parametri fondamentali
Rapporto di compressione r = V1 / V2.
gamma = Cp / Cv.

Rendimento teorico del ciclo Otto (ideale):
eta_Otto = 1 - (1 / r^(gamma - 1))
Dipende solo dal rapporto di compressione e dal gamma.

Esempio numerico (Otto)
Assumiamo aria idealizzata gamma = 1.4 e rapporto di compressione r = 8.
eta = 1 - 1 / (8^(0.4)).

Calcolo numerico:
8^(0.4) = exp(0.4 ln 8) = exp(0.4 * 2.0794415) = exp(0.8317766) ≈ 2.296
1 / 8^(0.4) ≈ 0.4356
eta ≈ 1 - 0.4356 = 0.5644 → 56.44% (rendimento ideale)

Commento: nei motori reali fattori come perdite di calore, attriti, miscelazione e processi non ideali riducono fortemente questo valore.

3. Ciclo Diesel (motore a gasolio)
   Descrizione
   Nel ciclo Diesel la combustione avviene a pressione quasi costante (isobara) invece che isocora. Modello ideale prevede: adiabatica compressione, isobara aggiunta di calore, adiabatica espansione, isocora (o isobara) scarico.

Parametri: rapporto di compressione r = V1 / V2 e rapporto di dilatazione cut-off alpha = V3 / V2 (volume dopo combustione / volume prima combustione).

Rendimento teorico del ciclo Diesel (ideale):
eta_Diesel = 1 - (1 / r^(gamma - 1)) * [ (alpha^gamma - 1) / (gamma (alpha - 1)) ]

Esempio numerico (Diesel)
Prendiamo gamma = 1.4, r = 18 (alte compressioni tipiche diesel), alpha = 2 (combustione che raddoppia il volume).
Calcolo parziale:
r^(gamma - 1) = 18^0.4 = exp(0.4 ln 18) = exp(0.4 * 2.890372) = exp(1.156149) ≈ 3.178
Termine fra parentesi: (alpha^gamma - 1) / (gamma (alpha - 1)) = (2^1.4 - 1) / (1.4*(1)).

2^1.4 = exp(1.4 ln 2) = exp(0.970) ≈ 2.638
Numeratore: 2.638 - 1 = 1.638
Denominatore: 1.4 → 1.638 / 1.4 ≈ 1.1686

Quindi:
eta = 1 - (1 / 3.178) * 1.1686 = 1 - 0.3146 * 1.1686 = 1 - 0.3676 = 0.6324 → 63.24% (valore teorico)

Commento: anche qui valori ideali. Motori reali presentano rendimenti inferiori; tuttavia i diesel reali tendono ad avere rendimento maggiore dei benzina per via dei più alti rapporti di compressione.

4. Ciclo Rankine (centrali termoelettriche a vapore)
   Descrizione
   Il ciclo Rankine è modello per turbine a vapore nelle centrali. Tipico ciclo a quattro passaggi usato con fluido di lavoro (acqua/vapore):

1. Pompa: compressione liquida (isobarica) da bassa a alta pressione.

2. Caldaia: riscaldamento e vaporizzazione a pressione costante, produzione di vapore saturo o surriscaldato.

3. Turbina: espansione adiabatica (o isentropica ideale) che produce lavoro.

4. Condensatore: condensazione del vapore a pressione bassa, ritorno allo stato liquido.

Parametri utili
Entalpia h alle varie stazioni; rendimento isentropico della turbina e della pompa; uso di calore sensibile e latente.

Rendimento termico (teorico, ideale):
eta_Rankine = (h3 - h4s - (h2 - h1)) / (h3 - h2)
Dove h4s entalpia di uscita della turbina in espansione isentropica.

Esempio numerico semplificato
Non entriamo nei dettagli delle tabelle vapore; forniamo un esempio concettuale con numeri ipotetici:

Supponiamo:
h3 (vapore prima turbina) = 3500 kJ/kg
h4s (vapore dopo espansione isentropica) = 2400 kJ/kg
h2 (liquido dopo pompa) = 300 kJ/kg
h1 (liquido prima pompa) = 280 kJ/kg

Lavoro turbina ideale per kg: W_turbina = h3 - h4s = 3500 - 2400 = 1100 kJ/kg
Lavoro pompa: W_pompa = h2 - h1 = 300 - 280 = 20 kJ/kg
Lavoro netto: W_net = 1100 - 20 = 1080 kJ/kg
Calore assorbito in caldaia: Q_in = h3 - h2 = 3500 - 300 = 3200 kJ/kg
Rendimento: eta = W_net / Q_in = 1080 / 3200 = 0.3375 → 33.75%

Commento: rendimenti reali delle grandi centrali a vapore possono raggiungere 40–45% con cicli a vapore surriscaldato e ciclo combinato (gas + vapore).

5. Ciclo frigorifero a compressione di vapore
   Descrizione e principio
   Il ciclo frigorifero di compressione di vapore è processo inverso di una macchina termica: impiega lavoro per trasferire calore da una sorgente fredda a una sorgente calda. Componenti principali: evaporatore (assorbe calore Q_L), compressore (lavora W_in), condensatore (cede Q_H), valvola di espansione.

Coefficiente di prestazione (COP) per frigorifero:
COP_frigo = Q_L / W_in

Per pompa di calore (riscaldamento):
COP_hp = Q_H / W_in = (Q_L + W_in) / W_in = 1 + COP_frigo

Esempio numerico (frigorifero)
Supponiamo una macchina che asporta Q_L = 500 kJ e richiede lavoro W_in = 150 kJ.
COP = 500 / 150 ≈ 3.333
Significa che per ogni kJ di lavoro si estraggono 3.333 kJ di calore dalla sorgente fredda.

Analogie con ciclo Carnot
Il COP massimo teorico reversibile tra sorgenti a T_H e T_C:
COP_frigo_max = 1 / (T_H / T_C - 1)
(con T in Kelvin)

Esempio numerico (COP Carnot)
T_H = 300 K (ambiente), T_C = 270 K (interno del congelatore).
COP_max = 1 / (300/270 - 1) = 1 / (1.1111 - 1) = 1 / 0.1111 ≈ 9
Quindi limite teorico COP = 9, i dispositivi reali hanno COP significativamente inferiori (2–5) a seconda della tecnologia.

6. Rendimento e confronto tra cicli reali e ideali
   Concetto di rendimento effettivo
   Il rendimento effettivo di una macchina incorpora perdite irreversibili: attriti, scambio termico finito, perdite meccaniche, fessure, non completezza della combustione, perdite di carico ecc.

Esempio comparativo qualitativo

• Carnot fornisce limite superiore; motori reali (Otto, Diesel) hanno rendimenti molto inferiori.

• Tra Otto e Diesel, Diesel ha potenziale rendimento maggiore per via di r più alto.

• Ciclo Rankine con superheating e rigenerazione aumenta rendimento reale; aggiungere turbine multi-stage e recupero aumenta prestazioni.

• Sistemi reali ottimizzano compromessi: potenza, dimensioni, costi e normative ambientali.

7. Esempi svolti completi

Esempio A — Confronto Otto vs Diesel su base ideale
Dati:
Aria come gas ideale, gamma = 1.4.
Otto: r_Otto = 9.
Diesel: r_Diesel = 18, alpha = 1.5.

Calcoli:
eta_Otto = 1 - 1 / r_Otto^(gamma - 1) = 1 - 1 / 9^0.4.
9^0.4 = exp(0.4 ln 9) = exp(0.4 * 2.1972246) = exp(0.87889) ≈ 2.408
1/2.408 = 0.4153 → eta_Otto ≈ 0.5847 → 58.47%

eta_Diesel:
r^(gamma-1) = 18^0.4 ≈ 3.178 (calcolato prima).
(alpha^gamma - 1) / (gamma (alpha - 1)) with alpha = 1.5:
1.5^1.4 = exp(1.4 ln 1.5) = exp(1.4 * 0.405465) = exp(0.567651) ≈ 1.7636
Numeratore: 1.7636 - 1 = 0.7636
Denominatore: 1.4*(0.5) = 0.7 → termine = 0.7636 / 0.7 ≈ 1.0909
eta_Diesel = 1 - (1 / 3.178) * 1.0909 = 1 - 0.3146 * 1.0909 = 1 - 0.3432 = 0.6568 → 65.68%

Interpretazione: in ipotesi ideali (senza perdite), il Diesel con r elevato e alpha moderato dà rendimento teoricamente più alto.

Esempio B — Calcolo lavoro e rendimento in ciclo Rankine semplificato (numeri sopra)
Già mostrato: risultato eta ≈ 33.75% per i dati d'esempio.

Esempio C — Trasformazioni elementari: lavoro in isoterma e adiabatica
Gas ideale: n = 1 mol, T = 300 K, isoterma da Vi = 0.01 m^3 a Vf = 0.02 m^3.
L_isoterma = n R T ln(Vf / Vi) = 1 * 8.314 * 300 * ln(2) ≈ 2494.2 * 0.6931 ≈ 1729 J
Quindi il lavoro svolto dall'espansione isoterma = 1.729 kJ; calore assorbito Q = L (per isoterma) = 1.729 kJ.

Adiabatica corrispondente (gamma = 1.4): relazione tra T e V:
T2 = T1 * (V1 / V2)^(gamma - 1) = 300 * (0.01 / 0.02)^0.4 = 300 * (0.5)^0.4.
(0.5)^0.4 = exp(0.4 ln 0.5) = exp(0.4 * (-0.6931)) = exp(-0.2773) ≈ 0.7579
T2 ≈ 300 * 0.7579 ≈ 227.37 K

Lavoro adiabatica (da 0.01 a 0.02):
Per gas ideale: L = n Cv (T1 - T2) (espansione, positiva se T1>T2)
Cv per aria (monoatomico vs poliatomico? per aria reale Cp ≈ 1005 J/kgK; su base molare Cv = R/(gamma-1) ??? Usare Cv molare)
Cv_molare = R / (gamma - 1) = 8.314 / 0.4 = 20.785 J/(mol·K)
L = n Cv (T1 - T2) = 1 * 20.785 * (300 - 227.37) = 20.785 * 72.63 ≈ 1509 J → 1.509 kJ

Controllo: per adiabatico Q=0, quindi lavoro = variazione energia interna (ΔU) = n Cv ΔT.

8. Note pratiche, suggerimenti e controllo dimensionale

• Sempre usare T in K per le formule che coinvolgono rapporti termici.

• Controllare che le unità di lavoro, calore ed entalpia siano coerenti (J o kJ).

• Nei cicli reali usare parametri di efficienza isentropica per turbine e pompe.

• Per confronto tra cicli usare condizioni di temperatura e pressione equivalenti (stessa sorgente calda/fredda) per valutare l'efficacia di strategie di recupero (recuperatori, surriscaldatori, rigenerazione).

Conclusione sintetica
I cicli termodinamici forniscono i modelli fondamentali per capire come convertire energia termica in lavoro e viceversa. Il ciclo di Carnot definisce il limite teorico di efficienza; Otto e Diesel modellano motori a combustione interna con dipendenze chiare da rapporto di compressione e parametri di combustione; Rankine costituisce la base della produzione elettrica termica; i frigoriferi mostrano l'inversione del processo, quantificata dal COP. La pratica ingegneristica è il tentativo di avvicinare i cicli reali agli ideali, minimizzando irreversibilità e ottimizzando scambio termico, ciclo di combustione e recupero energetico.