Corso di Fondamenti di Matematica e Logica: 4 Logica Matematica

Logica Matematica – Il pensiero rigoroso

La logica matematica è molto più di un insieme di simboli: è il linguaggio del ragionamento corretto. Pensate alla logica come a una lente che chiarisce ogni argomento, dalla matematica all’informatica, dalla filosofia al diritto. Quando impariamo a usare la logica, diventiamo più bravi a capire se un ragionamento ha senso, se una decisione è giustificata o se una conclusione è corretta.

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Le proposizioni: mattoni del ragionamento

In logica, il concetto fondamentale è la proposizione, ovvero una frase che può essere solo vera o falsa. Non esistono sfumature: “forse” o “non so” non rientrano nella logica formale.

Esempi di proposizioni:

• “Il sole sorge a est” → Vero
• “5 è un numero pari” → Falso

Esempi di frasi non proposizionali:

• “Chiudi la porta!” (ordine)
• “Forse domani pioverà” (incertezza)

Riconoscere le proposizioni ci permette di analizzare e combinare informazioni in modo rigoroso.

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Connettivi logici: combinare le proposizioni

Le proposizioni da sole sono come mattoncini singoli. I connettivi logici ci permettono di costruire strutture più complesse.

2.1 Negazione (¬)

La negazione cambia il valore di verità: trasforma vero in falso e falso in vero.

Esempio: p = “Piove” → ¬p = “Non piove”

2.2 Congiunzione (∧)

La congiunzione richiede che entrambe le proposizioni siano vere.

Esempio: p = “Piove”, q = “Fa freddo” → p ∧ q = “Piove e fa freddo”

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

2.3 Disgiunzione (∨)

La disgiunzione è vera se almeno una delle proposizioni è vera.

Esempio: p = “Piove”, q = “Nevica” → p ∨ q

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

2.4 Implicazione (→)

L’implicazione collega causa ed effetto: “Se p allora q”.

Esempio: p = “Piove”, q = “Porto l’ombrello” → p → q

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V
L’implicazione è falsa solo quando p è vero e q è falso.

2.5 Doppia implicazione (↔)

Indica che due proposizioni hanno lo stesso valore di verità.

Esempio: “Sono a casa ↔ è domenica”

Vera quando entrambe sono vere o entrambe false.

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Tavole di verità: lo strumento visivo

Le tavole di verità mostrano tutte le combinazioni possibili dei valori di verità di una proposizione composta. Ad esempio, per ¬(p ∧ q):

p	q	p ∧ q	¬(p ∧ q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

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Leggi e concetti fondamentali

Alcune leggi permettono di semplificare i ragionamenti:

• Leggi di De Morgan: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q
• Equivalenza logica: due espressioni hanno la stessa tavola di verità → sono intercambiabili
• Contrapposizione: p → q ≡ ¬q → ¬p

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Esercizi svolti di Logica Matematica

1. Traduzione di frasi quotidiane in logica proposizionale

Esercizio 1: “Se piove, porto l’ombrello.”

• p = “Piove”
• q = “Porto l’ombrello”
  Traduzione: p → q
  Spiegazione: La frase condizionale indica che l’azione di portare l’ombrello dipende dalla pioggia. La condizione è falsa solo se piove ma non porto l’ombrello.

Esercizio 2: “Non vado al cinema o guardo un film a casa.”

• p = “Vado al cinema”
• q = “Guardo un film a casa”
  Traduzione: ¬p ∨ q
  Spiegazione: La frase indica che almeno una delle due condizioni è vera: se non vado al cinema, posso comunque guardare un film a casa.

Esercizio 3: “Mangio solo se ho fame.”

• p = “Mangio”
• q = “Ho fame”
  Traduzione: q → p
  Spiegazione: “Solo se” indica che avere fame è necessario per mangiare. Se non ho fame, potrei non mangiare; se ho fame, mangio.

Esercizio 4: “Se studio e ripasso, passo l’esame.”

• p = “Studio”
• q = “Ripasso”
• r = “Passo l’esame”
  Traduzione: (p ∧ q) → r
  Spiegazione: Il superamento dell’esame dipende dal fatto che entrambe le azioni (studiare e ripassare) siano svolte.

Esercizio 5: “Sono a casa se e solo se è domenica.”

• p = “Sono a casa”
• q = “È domenica”
  Traduzione: p ↔ q
  Spiegazione: La frase indica equivalenza: sono a casa esattamente quando è domenica.

2. Costruzione di tavole di verità

Esercizio 6: p ∧ q

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Spiegazione: La congiunzione è vera solo quando entrambe le proposizioni sono vere.

Esercizio 7: p ∨ ¬q

p	q	¬q	p ∨ ¬q
V	V	F	V
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	V

Spiegazione: La disgiunzione è vera se almeno uno dei termini è vero.

Esercizio 8: ¬(p ∧ q)

p	q	p ∧ q	¬(p ∧ q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Spiegazione: La negazione inverte il valore della congiunzione.

3. Negazioni e leggi di De Morgan

Esercizio 9: Negare “Piove e fa freddo”

• p = “Piove”
• q = “Fa freddo”
  Negazione: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q → “Non piove o non fa freddo”

Esercizio 10: Negare “Vado al mare o resto a casa”

• p = “Vado al mare”
• q = “Resto a casa”
  Negazione: ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q → “Non vado al mare e non resto a casa”

Spiegazione: Le leggi di De Morgan permettono di trasformare le negazioni di congiunzioni in disgiunzioni (e viceversa) con la negazione distribuita.

4. Verifica di implicazioni

Esercizio 11: “Se c’è traffico, arrivo in ritardo.”

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Spiegazione: L’implicazione è falsa solo se l’antecedente è vero e il conseguente falso.

5. Doppie implicazioni

Esercizio 12: “Studio se e solo se passo l’esame”

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Spiegazione: La doppia implicazione è vera quando entrambi gli enunciati hanno lo stesso valore di verità.

6. Traduzione di frasi condizionali complesse

Esercizio 13: “Se studio, allora se ripasso, passo l’esame”

• p = “Studio”
• q = “Ripasso”
• r = “Passo l’esame”
  Traduzione: p → (q → r)
  Spiegazione: L’esito finale dipende dalla sequenza delle azioni.

Esercizio 14: “Vado a correre solo se non piove”

• p = “Vado a correre”
• q = “Piove”
  Traduzione: ¬q → p
  Spiegazione: La corsa è permessa solo quando non piove.

Esercizio 15: “Se studio o faccio esercizi, passo l’esame”

• p = “Studio”
• q = “Faccio esercizi”
• r = “Passo l’esame”
  Traduzione: (p ∨ q) → r
  Spiegazione: L’esito positivo è legato a almeno una delle attività svolte.

7. Esercizi con tavole di verità complesse

Esercizio 16: (¬p ∨ q) ∧ p

Per capire questa proposizione, dobbiamo analizzare passo passo:

1. ¬p è la negazione di p.
2. ¬p ∨ q significa “o non p oppure q”, quindi è vera se almeno uno dei due termini è vero.
3. L’intera proposizione (¬p ∨ q) ∧ p richiede che entrambe le condizioni siano vere: sia (¬p ∨ q) sia p.

Tavola di verità completa:

p	q	¬p	¬p ∨ q	(¬p ∨ q) ∧ p
V	V	F	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	F
F	F	V	V	F

Spiegazione: La proposizione è vera solo quando p è vera e q è vera; negli altri casi il risultato finale è falso.

Esercizio 17: (p ∨ ¬q) → r

Qui abbiamo una condizione composta e un’implicazione:

• p ∨ ¬q significa “p oppure non q”.
• L’implicazione (p ∨ ¬q) → r è falsa solo se la prima parte è vera e r è falsa.

Tavola di verità completa:

p	q	r	¬q	p ∨ ¬q	(p ∨ ¬q) → r
V	V	V	F	V	V
V	V	F	F	V	F
V	F	V	V	V	V
V	F	F	V	V	F
F	V	V	F	F	V
F	V	F	F	F	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	V	F

Spiegazione: L’implicazione richiede attenzione: è falsa solo quando l’antecedente (p ∨ ¬q) è vero e il conseguente r è falso.

Esercizio 18: ¬(p ∧ ¬q)

Analizziamo la negazione:

1. ¬q è la negazione di q.
2. p ∧ ¬q significa che p è vero e q è falso.
3. La negazione ¬(p ∧ ¬q) inverte il valore della congiunzione.

Tavola di verità completa:

p	q	¬q	p ∧ ¬q	¬(p ∧ ¬q)
V	V	F	F	V
V	F	V	V	F
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V

Spiegazione: La negazione inverte solo i valori della congiunzione interna, rendendo vera la proposizione quando p ∧ ¬q è falso.

8. Applicazioni pratiche

Esercizio 19: “Se ho fame e sete, bevo o mangio”

• p = “Ho fame”
• q = “Ho sete”
• r = “Mangio”
• s = “Bevo”

Traduzione: (p ∧ q) → (r ∨ s)

Tavola di verità completa:

p	q	r	s	p ∧ q	r ∨ s	(p ∧ q) → (r ∨ s)
V	V	V	V	V	V	V
V	V	V	F	V	V	V
V	V	F	V	V	V	V
V	V	F	F	V	F	F
V	F	V	V	F	V	V
V	F	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	V	V
V	F	F	F	F	F	V
F	V	V	V	F	V	V
F	V	V	F	F	V	V
F	V	F	V	F	V	V
F	V	F	F	F	F	V
F	F	V	V	F	V	V
F	F	V	F	F	V	V
F	F	F	V	F	V	V
F	F	F	F	F	F	V

Spiegazione: L’implicazione è falsa solo quando ho fame e sete ma non bevo né mangio.

Esercizio 20: “Non esco se non ho soldi o piove”

• p = “Esco”
• q = “Ho soldi”
• r = “Piove”

Traduzione: ¬(q ∨ r) → ¬p

Tavola di verità:

q	r	q ∨ r	¬(q ∨ r)	p	¬p	¬(q ∨ r) → ¬p
V	V	V	F	V	F	V
V	V	V	F	F	V	V
V	F	V	F	V	F	V
V	F	V	F	F	V	V
F	V	V	F	V	F	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	F	V	V	F	F
F	F	F	V	F	V	V

Spiegazione: La condizione “non esco se non ho soldi o piove” è rispettata solo quando se non ho soldi e non piove, allora non esco.

Esercizio 21 – “Se faccio la spesa o cucino, pulisco casa”

Traduzione in logica proposizionale:

• p = “Faccio la spesa”
• q = “Cucino”
• r = “Pulisco casa”
• Formula: (p ∨ q) → r

Analisi:

Questa è un’implicazione: la condizione antecedente è “faccio la spesa o cucino” (p ∨ q), il conseguente è “pulisco casa” (r). Ricordiamo che un’implicazione è falsa solo se l’antecedente è vero e il conseguente è falso.

Tavola di verità completa:

p	q	p ∨ q	r	(p ∨ q) → r
V	V	V	V	V
V	V	V	F	F
V	F	V	V	V
V	F	V	F	F
F	V	V	V	V
F	V	V	F	F
F	F	F	V	V
F	F	F	F	V

Spiegazione:

• Se almeno una tra “faccio la spesa” o “cucino” è vera, devo pulire casa perché l’implicazione sia vera.
• Se non faccio né la spesa né cucino, l’implicazione è automaticamente vera, indipendentemente dal valore di r.

Esercizio 22 – “Non guido se bevo o sono stanco”

Traduzione in logica proposizionale:

• p = “Guido”
• q = “Bevo”
• r = “Sono stanco”
• Formula: (q ∨ r) → ¬p

Analisi:

La frase indica che se bevo o sono stanco, allora non guido. Ancora, un’implicazione è falsa solo se l’antecedente è vero e il conseguente è falso.

Tavola di verità completa:

q	r	q ∨ r	p	¬p	(q ∨ r) → ¬p
V	V	V	V	F	F
V	V	V	F	V	V
V	F	V	V	F	F
V	F	V	F	V	V
F	V	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V
F	F	F	V	F	V
F	F	F	F	V	V

Spiegazione:

• L’implicazione è falsa solo quando bevo o sono stanco (q ∨ r = V) e al tempo stesso guido (p = V).
• In tutti gli altri casi l’implicazione è vera.

Esercizio 23 – “Se leggo, allora studio o mi riposo”

Traduzione in logica proposizionale:

• p = “Leggo”
• q = “Studio”
• r = “Mi riposo”
• Formula: p → (q ∨ r)

Analisi:

Se leggo, almeno una tra le azioni “studio” o “mi riposo” deve verificarsi. L’implicazione sarà falsa solo se p è vero e q ∨ r è falso.

Tavola di verità completa:

p	q	r	q ∨ r	p → (q ∨ r)
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	V	F	V	V
F	F	V	V	V
F	F	F	F	V

Spiegazione:

• L’implicazione è falsa solo se leggo ma non studio né mi riposo.
• In tutti gli altri casi, l’implicazione è vera, anche se non leggo.

9. Equivalenze logiche

Esercizio 24 – Leggi di De Morgan

Verifica: ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q

Passo 1: Creiamo la tavola di verità di ¬(p ∧ q)

p	q	p ∧ q	¬(p ∧ q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Passo 2: Creiamo la tavola di ¬p ∨ ¬q

p	q	¬p	¬q	¬p ∨ ¬q
V	V	F	F	F
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Conclusione: le due colonne finali coincidono in tutti i casi. Quindi:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ✅

Questa è la famosa legge di De Morgan.

Esercizio 25 – Implicazione come disgiunzione

Verifica: p → q ≡ ¬p ∨ q

Passo 1: Tavola di p → q

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Passo 2: Tavola di ¬p ∨ q

p	q	¬p	¬p ∨ q
V	V	F	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Conclusione: i valori coincidono in tutti i casi, quindi:

p → q ≡ ¬p ∨ q ✅

Significa che dire “Se p allora q” è lo stesso che dire “Oppure non p o q”.

Esercizio 26 – Contrapposizione

Verifica: p → q ≡ ¬q → ¬p

Passo 1: Tavola di p → q

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Passo 2: Tavola di ¬q → ¬p

p	q	¬p	¬q	¬q → ¬p
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Conclusione: le due colonne coincidono:

p → q ≡ ¬q → ¬p ✅

La contrapposizione è molto utile per dimostrazioni logiche.

Esercizio 27 – Negazione di una disgiunzione

Verifica: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Passo 1: Tavola di ¬(p ∨ q)

p	q	p ∨ q	¬(p ∨ q)
V	V	V	F
V	F	V	F
F	V	V	F
F	F	F	V

Passo 2: Tavola di ¬p ∧ ¬q

p	q	¬p	¬q	¬p ∧ ¬q
V	V	F	F	F
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

Conclusione: le due colonne coincidono:

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q ✅

Questa è un’altra legge di De Morgan.

Esercizio 28 – Commutatività

Verifica: p ∧ q ≡ q ∧ p e p ∨ q ≡ q ∨ p

Passo 1: Tavola di p ∧ q e q ∧ p

p	q	p ∧ q	q ∧ p
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	F	F

Passo 2: Tavola di p ∨ q e q ∨ p

p	q	p ∨ q	q ∨ p
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	F

Conclusione: le operazioni ∧ e ∨ sono commutative.

Ordine degli elementi non cambia il risultato.

Esercizio 29 – Associazioni

Verifica: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

Tavola:

p	q	r	(p ∧ q) ∧ r	p ∧ (q ∧ r)
V	V	V	V	V
V	V	F	F	F
V	F	V	F	F
V	F	F	F	F
F	V	V	F	F
F	V	F	F	F
F	F	V	F	F
F	F	F	F	F

Conclusione: la ∧ è associativa:

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) ✅

Esercizio 30 – Distribuzione

Verifica: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Tavola:

p	q	r	q ∨ r	p ∧ (q ∨ r)	p ∧ q	p ∧ r	(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	F	V
V	F	V	V	V	F	V	V
V	F	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	F	F	F
F	V	F	V	F	F	F	F
F	F	V	V	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

Conclusione: la distribuzione è verificata:

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ✅

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Test di Logica Matematica

1. Qual è il valore di p → q quando p = F e q = V?

A. Vero

B. Falso

C. Non definito

D. Dipende

2. Quale delle seguenti è una proposizione logica?

A. “Apri la finestra!”

B. “Oggi è lunedì”

C. “Quanto costa questo?”

D. “Forse vado via”

3. Quale connettivo rappresenta “non p”?

A. ∧

B. ¬

C. ∨

D. →

4. Qual è la negazione corretta di “p ∧ q”?

A. ¬p ∧ ¬q

B. p ∨ q

C. ¬p ∨ ¬q

D. p ↔ ¬q

5. Traduci: “Se ho sonno, bevo caffè”

A. p ∧ q

B. p → q

C. p ↔ q

D. ¬p ∨ q

6. Qual è il valore di p ∧ q se p = V e q = F?

A. V

B. F

7. Qual è il valore di p ∨ q se p = F e q = F?

A. V

B. F

8. In quale caso l’implicazione p → q è falsa?

A. p = V, q = V

B. p = V, q = F

C. p = F, q = V

D. p = F, q = F

9. Quale delle seguenti è una disgiunzione?

A. p ∧ q

B. ¬p

C. p ∨ q

D. p → q

10. Se p = “Piove” e q = “Prendo l’ombrello”, quale frase rappresenta p ↔ q?

A. “Piove o prendo l’ombrello”

B. “Piove se e solo se prendo l’ombrello”

C. “Se piove, prendo l’ombrello”

D. “Non piove e non prendo l’ombrello”

11. Qual è la negazione di “Piove o nevica”?

A. ¬piove ∧ ¬nevica

B. ¬piove ∨ ¬nevica

C. piove ∧ nevica

D. piove ∨ nevica

12. Quale delle seguenti proposizioni è sempre vera?

A. p ∨ ¬p

B. p ∧ ¬p

C. p → ¬p

D. ¬p ∧ ¬p

13. La contrapposizione di “Se studio, passo l’esame” è:

A. “Se passo l’esame, studio”

B. “Se non passo l’esame, non studio”

C. “Studio se e solo se passo l’esame”

D. “Non studio e non passo l’esame”

14. Quale delle seguenti è una equivalenza logica?

A. p ∧ q ≡ q ∧ p

B. p ∧ q ≡ p ∨ q

C. p → q ≡ q → p

D. p ∨ q ≡ p ∧ ¬q

15. Valore di ¬(p ∨ q) se p = V e q = F

A. V

B. F

16. Traduci: “Mangio solo se ho fame”

A. p → q

B. q → p

C. p ∧ q

D. ¬p ∨ q

17. Valore di p → q se p = V e q = V

A. V

B. F

18. Valore di ¬p ∧ q se p = V e q = V

A. V

B. F

19. Se p = “Studio” e q = “Passo l’esame”, quale frase rappresenta ¬p ∨ q?

A. “Se studio, passo l’esame”

B. “Non studio o passo l’esame”

C. “Studio e passo l’esame”

D. “Non studio e non passo l’esame”

20. Valore di (p ∨ q) ∧ ¬q se p = V e q = F

A. V

B. F

21. Quale connettivo logico si usa per un “e” logico?

A. ∧

B. ∨

C. ¬

D. →

22. Valore di p ∧ (q ∨ r) se p = V, q = F, r = V

A. V

B. F

23. Negazione di “Se piove, porto l’ombrello”

A. “Se piove, non porto l’ombrello”

B. “Piove e non porto l’ombrello”

C. “Non piove o porto l’ombrello”

D. “Non piove e porto l’ombrello”

24. Valore di ¬(p ∧ ¬q) se p = V, q = F

A. V

B. F

25. Quale legge logica corrisponde a ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q?

A. Legge di identità

B. Legge di De Morgan

C. Legge di contrapposizione

D. Legge distributiva

26. Valore di p ↔ q se p = V, q = F

A. V

B. F

27. Traduci: “Porto l’ombrello solo se piove”

A. p → q

B. q → p

C. p ∧ q

D. ¬p ∨ ¬q

28. Quale delle seguenti è una doppia implicazione?

A. p ∧ q

B. p ∨ q

C. p ↔ q

D. p → q

29. Valore di ¬(¬p ∨ q) se p = F, q = V

A. V

B. F

30. Se p = V, q = F, r = V, valore di (p ∧ q) ∨ r

A. V

B. F

31. Valore di ¬p ∨ (q ∧ r) se p = V, q = V, r = F

A. V

B. F

32. Traduci: “Se oggi è domenica, resto a casa”

A. p → q

B. q → p

C. p ∧ q

D. p ↔ q

33. Negazione di p → q

A. ¬p → ¬q

B. p ∧ ¬q

C. ¬p ∨ q

D. ¬p ∧ q

34. Quale proposizione è sempre falsa?

A. p ∧ ¬p

B. p ∨ ¬p

C. p → p

D. ¬p ∨ p

35. Se p = V e q = F, valore di ¬p ∨ q

A. V

B. F

36. Se p = F e q = F, valore di p → q

A. V

B. F

37. Traduci: “Non piove o porto l’ombrello”

A. ¬p ∨ q

B. p ∧ ¬q

C. ¬p ∧ q

D. p ∨ q

38. Se p = V e q = V, valore di p ∨ ¬q

A. V

B. F

39. Valore di ¬(p ↔ q) se p = V, q = F

A. V

B. F

40. Valore di (p → q) ∧ (q → r) se p = V, q = V, r = F

A. V

B. F

41. Equivalenza logica di p → q?

A. ¬p ∨ q

B. ¬p ∧ q

C. p ∨ q

D. ¬p ∨ ¬q

42. Qual è la contrapposizione di p → q?

A. ¬q → ¬p

B. ¬p → ¬q

C. q → p

D. p ↔ q

43. Valore di ¬p ∧ ¬q se p = F, q = V

A. V

B. F

44. Traduci: “Studio e passo l’esame”

A. p ∧ q

B. p ∨ q

C. p → q

D. ¬p ∧ ¬q

45. Quale connettivo logico indica “se… allora”?

A. ∧

B. ∨

C. →

D. ¬

46. Valore di p ∧ (¬p ∨ q) se p = V, q = F

A. V

B. F

47. Traduci: “Solo se studio, passo l’esame”

A. p → q

B. q → p

C. p ∧ q

D. ¬p ∨ q

48. Valore di (p ∨ q) → r se p = V, q = F, r = V

A. V

B. F

49. Negazione di p ↔ q

A. p ↔ ¬q

B. ¬p ↔ q

C. ¬(p ↔ q)

D. ¬p ∧ ¬q

50. Valore di ¬(p ∨ ¬q) se p = V, q = V

A. V

B. F

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✅ Risposte spiegate

1. A – L’implicazione è vera se la premessa è falsa o l’effetto è vero. Qui p = F → V = V.

2. B – Solo “Oggi è lunedì” ha valore di verità definito.

3. B – ¬ indica negazione.

4. C – Legge di De Morgan: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q.

5. B – Traduzione condizionale: se ho sonno (p) → bevo caffè (q)

6. B – Congiunzione p ∧ q è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.

7. B – Disgiunzione p ∨ q è falsa solo se entrambe sono false.

8. B – Implicazione è falsa solo se p = V e q = F.

9. C – Disgiunzione = “o” inclusivo.

10. B – Doppia implicazione: vero se entrambe hanno stesso valore di verità.

11. A – Negazione di disgiunzione = ¬p ∧ ¬q (De Morgan).

12. A – Principio del terzo escluso: p ∨ ¬p è sempre vero.

13. B – Contrapposizione: p → q ≡ ¬q → ¬p.

14. A – Commutatività: p ∧ q ≡ q ∧ p.

15. B – ¬(p ∨ q) = ¬V = F.

16. B – Solo se ho fame (q) → mangio (p).

17. A – Implicazione vera se p e q sono vere.

18. B – ¬p ∧ q = F ∧ V = F.

19. B – Traduzione letterale: ¬p ∨ q.

20. A – (V ∨ F) ∧ ¬F = V ∧ V = V.

21. A – Congiunzione = ∧.

22. A – q ∨ r = F ∨ V = V → p ∧ (q ∨ r) = V ∧ V = V.

23. B – Negazione implicazione: p ∧ ¬q.

24. B – ¬(V ∧ ¬F) = ¬(V ∧ V) = ¬V = F.

25. B – De Morgan.

26. B – V ↔ F = F.

27. B – Solo se p → q → q → p.

28. C – Doppia implicazione = ↔.

29. B – ¬(¬F ∨ V) = ¬(V ∨ V) = ¬V = F.

30. A – (V ∧ F) ∨ V = F ∨ V = V.

31. B – ¬p ∨ (q ∧ r) = ¬V ∨ (V ∧ F) = F ∨ F = F.

32. A – Condizionale: p → q.

33. B – Negazione implicazione: p ∧ ¬q.

34. A – Contraddizione: sempre falsa.

35. B – ¬p ∨ q = ¬V ∨ F = F ∨ F = F.

36. A – Implicazione falsa solo se p = V e q = F. Qui p = F → q = F → V.

37. A – Traduzione letterale.

38. A – p ∨ ¬q = V ∨ ¬V = V ∨ F = V.

39. A – ¬(V ↔ F) = ¬F = V.

40. B – p → q = V → V = V, q → r = V → F = F, V ∧ F = F.

41. A – Equivalenza fondamentale dell’implicazione.

42. A – Contrapposizione: ¬q → ¬p.

43. B – ¬p ∧ ¬q = ¬F ∧ ¬V = V ∧ F = F.

44. A – Traduzione letterale.

45. C – “Se… allora” = →.

46. B – p ∧ (¬p ∨ q) = V ∧ (F ∨ F) = V ∧ F = F.

47. B – Solo se q → p.

48. A – p ∨ q = V ∨ F = V → r = V → V = V.

49. C – Negazione letterale.

50. B – ¬(V ∨ ¬V) = ¬(V ∨ F) = ¬V = F.